La relativité restreinte rendue intuitive

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Le document présenté ici vise à expliquer la signification de la théorie de la relativité restreinte et de quelques autres notions de physique fondamentale (principe de moindre action, lois de conservation en mécanique, entropie, paradoxe EPR), en accord rigoureux avec ce qui est établi, mais suivant une autre approche mettant davantage en valeur l'intuition et l'élégance des concepts.

Ils s'adressent en particulier à ceux qui, au lieu de chercher à assimiler ces concepts "à l'usage" de manière fonctionnelle et calculatoire, veulent faire l'effort nécessaire pour les comprendre conformément aux termes mathématiques dans lesquels ils interviennent effectivement dès qu'on va un peu plus loin dans les théories. 

L'approche ici proposée:

- Va au fond des choses, ce qui fait intervenir un certain travail conceptuel; s'exprime en des termes différents de ceux des présentations habituelles de relativité restreinte, sans bien sûr les contredire.
- Ce travail est précisément celui qui est pertinent et entièrement utile pour la compréhension de la théorie, surtout si on veut aller plus loin ensuite en physique théorique: une fois réalisé, il facilite l'acquisition des notions suivantes.
- Notamment, cette reformulation permet de contourner le "choc" des paradoxes que les approches habituelles induisent, en sorte d'éviter les "malaises" intellectuels qui en résultent, et qui fatiguent la pensée inutilement (en contredisant une intuition trompeuse tout en continuant à se baser dessus).
- Est néanmoins hardie (probablement même plus), mais de manière positive (par l'audace d'envisager d'autres manières de pensée intuitives - en fait très proche de l'intuition véritable des théoriciens, mais enfin explicitée pleinement ce qui n'avait pas été fait jusque-là) plutôt que négative (rejet de l'intuition).
- S'exprime essentiellement sous forme littéraire, ne fait intervenir formellement que peu de formules mathématiques (en particulier, les formules de transformation de Lorentz ne sont pas utilisées) mais n'en est pas moins hautement mathématique et pointue. La principale formule utilisée est issue des calculs sur les nombres complexes, ou peut se voir formellement par les séries entières:

si v2=-c2  alors  cos(a/v) = ch(a/c)  et  v sin(a/v) = c sh(a/c)v2=-c2.

Document à télécharger : cliquer ici

(voir plus bas d'éventuels compléments)

Sur cette page web

N'oubliez pas que le plus important est dans le document ci-dessus; la suite de cette page, qui n'a pas été revue depuis pas mal de temps (sauf table des matières), contient seulement :

- Résumé de quelques-unes des idées présentées en détails dans les textes joints :
1) de la section 1.4 (Qu'est-ce la physique mathématique) : Pour éviter tout contresens
2) résumé du chapitre 2 (présentation du coeur de la théorie) en quelques idées fortes: Schéma de la théorie (Problème du temps - physique de l'équilibre - géométrie - "paradoxes") 

3) Plan du document principal

- Suivent quelques compléments
4) Justifications de la théorie : pour ceux douteraient encore de sa pertinence
5) Si cette présentation vous parait difficile à comprendre
6) Pour aller plus loin 

1) Pour éviter tout contresens

L'objet de la Physique est de décrire les lois physiques, c'est-à-dire les relations mathématiques qui contraignent le comportement de la matière. En mathématique, les objets n'ont pas de nature mais seules comptent les structures qui les relient. Différents discours qui sont les traductions les uns des autres par remplacement des éléments de pensée sur lesquels ils s'appuient, sont considérés comme des présentations équivalentes d'une même théorie. Et parmi elles, la meilleure est celle qui fait saisir ses structures et propriétés mathématiques le plus facilement.

En physique, nous ne pouvons prétendre faire autrement. En effet, toute prétention à dire qu'un élément de pensée serait plus qu'un autre conforme à la vraie nature d'un certain élément de la réalité est vaine, parce qu'il n'existe aucun moyen de comparer ces natures: toutes nos perceptions du monde extérieur passent par des traductions effectuées par le système nerveux. Et de toute manière, comment espérer qu'un objet physique puisse avoir une quelconque identité de nature avec un phénomène mental ? (Cette affirmation ne s'applique donc pas aux sciences humaines où des éléments de pensée de différentes personnes peuvent être de même nature.)

Nous ne pouvons même pas imaginer comme telle la nature du temps que nous vivons : en aucun instant nous ne pouvons imaginer une durée en tant que telle, puisqu'un instant ne contient aucune durée; il n'y a que les durées futures qui n'existent pas encore, et les durées passées que nous percevons dans notre souvenir. Mais déjà, un souvenir d'une durée n'est plus une durée.

Ainsi, la seule signification possible d'une expérience ou d'un discours sur le monde physique concerne les structures (ou relations) entre ses objets, non leur nature.
Un discours s'appuyant judicieusement sur un système inhabituel de représentations imaginaires des éléments de réalité, pour faire mieux saisir leurs structures apparaissant dans des contextes éloignés de l'expérience quotidienne, est donc bien sûr pareillement vide d'implications sur la vraie nature de ces éléments de réalité que tout autre discours.

2) Schéma de la théorie

La théorie de la Relativité restreinte se schématise en une phrase que voici:

Le monde est fixe, en équilibre dans un espace de dimension 4.

Elle est en trois parties indépendantes (philosophique, physique et géométrique).

Problème philosophique

C'est le problème de la disposition de nos sensations expérimentales et en particulier celle du temps à l'intérieur de la réalité.

Si le monde est fixe, comment se fait-il que nous le voyions bouger ?
Réponse: c'est que le mouvement est relatif. Ce n'est pas le monde qui bouge, c'est nous qui nous déplaçons dans le monde à une vitesse v qui est une constante universelle. Cela s'explique facilement sans formules par une petite histoire allégorique, d'où découlent les "paradoxes" habituels de la théorie.

La physique de l'équilibre

On en a bien une certaine expérience, mais comment s'expriment précisément ses lois ? Quel est le dictionnaire qui fait la traduction entre physique de l'équilibre et physique relativiste ? Et quelles sont les propriétés physiques des particules ?

Voici le dictionnaire :
L'énergie potentielle en physique de l'équilibre prend le nom d'action en physique relativiste ; le vecteur force qui dérive de ce potentiel prend le nom de quadrivecteur énergie-impulsion, sa composante temporelle multipliée par c2 est appelée énergie, et sa partie spatiale est appelée quantité de mouvement.
Les particules de la physique relativiste correspondent à des élastiques tendus, avec la propriété que la tension de cet élastique (norme du vecteur force qu'il véhicule) est toujours la même: on l'appelle la masse de la particule. Ce phénomène de tension constante d'objets de dimension 1 existe aussi en dimension supérieure: la surface de l'eau (ou d'une bulle de savon, de dimension 2, située dans l'espace habituel de dimension 3) véhicule aussi une tension superficielle constante (qui est cette fois une tension par unité de longueur du bord). Ces deux tensions correspondent à une densité d'énergie : la première par unité de longueur de l'élastique, la seconde par unité de surface.
En dimension 3 c'est la pression d'un gaz (sauf qu'elle est de signe contraire, et qu'elle peut varier sous la contrainte), et en dimension 4 c'est la constante cosmologique.

La géométrie de cet espace

Quelle est la géométrie de cet espace de dimension 4 dans lequel nous sommes ? (Peu importe la dimension en fait: pour tout entier n>2 il existe une unique géométrie euclidienne de dimension n qui généralise automatiquement la géométrie plane, là n'est pas le problème)

Le problème est que c'est une géométrie un peu différente de la géométrie euclidienne, or cette différence intervient dès la dimension 2, donc le problème est de décrire une autre géométrie du plan, en expliquant ses ressemblances et ses différences avec la géométrie euclidienne plane.
En fait, elle est très similaire à la géométrie euclidienne, donc la plupart des constructions et raisonnements géométriques habituels restent valables (dont tout ce qui est des notions de géométrie affine), sauf que c'est le contraire: des inégalités sont renversées. Tout le changement est en fait contenu en quelque sorte dans la formule magique v2=-c2 qui relie la vitesse v invoquée ci-dessus à la vitesse de la lumière c, et est à interpréter formellement d'une manière algébrique (tandis que les deux parties de cette égalité ne peuvent pas se rapporter à une réalité commune).
Par exemple dans cette géométrie, la ligne droite est le plus long chemin d'un point à un autre, et les cercles sont des hyperboles au lieu d'être des ellipses.

Paradoxes

Quand on voit au loin un camion avancer de gauche à droite, pourquoi rétrécit-il subitement lorsque son chemin se tourne vers nous ou vers le lointain ? Et pourquoi ses deux roues avant qui étaient superposées se séparent-elles par rapport à nous ?
Pourquoi cela prend-il des temps différents pour aller d'un point à un autre suivant des  chemins différents, alors qu'on y va dans tous les cas à la même vitesse ?
Sachant que la grosseur d'un saucisson se définit par la largeur de ses rondelles, comment se fait-il qu'il est plus gros lorsque son axe est incliné par rapport au plan de coupe ?

La Relativité restreinte nous apprend que ces phénomènes, placés dans un autre contexte, peuvent nous paraître absolument étonnants.
Il y a un autre phénomène qui nous étonne, non exactement celui-ci mais avec des propriétés analogues:
Vue du haut d'une tour, une voiture peut s'éloigner tant qu'elle veut, indéfiniment; elle semble rapetisser (surtout dans la direction verticale) au fur et à mesure qu'elle s'approche de l'horizon, bien qu'il ne lui arrive en réalité rien de spécial à son approche. Elle ne pourra jamais atteindre cet horizon si on néglige la rotondité de la terre, ni encore moins le dépasser.

3) Plan du document

Le document actuellement en travail (début d'un futur livre de géométrie et physique) a été divisé en deux parties: physique d'une part, logique d'autre part, le premier chapitre étant commun entre les deux parties. Pour la partie logique, voir la
Sans parler des projets de parties futures, ces deux parties sont encore inachevées: notamment un développement sur la mécanique relativiste est prévu pour préparer la suite de l'introduction à la physique quantique.
Le plan et la répartition en fichiers sont donc aussi susceptibles de modifications. Si vous faites un lien, merci de pointer uniquement vers les pages html pour éviter les risques d'erreurs 404.

Voici le plan:

<>1. Introduction générale
1.1. Qu'est-ce que la science mathématique ?
1.2. Qu'est-ce que la géométrie ?
1.3. Comment peut-on visualiser d'autres géométries ?
1.4 La géométrie euclidienne décrit-elle exactement l'espace physique ?
1.5. Qu'est-ce que la physique mathématique?
1.6. Quelques mots de géométrie euclidienne
1.7. Fondement expérimental de la géométrie affine plane 

(I - Relativité restreinte et initiation à la physique mathématique)

2. L'étrangeté de la théorie de la relativité
2.1. Son nom et quelques autres aspects extérieurs
2.2. L'origine de ses paradoxes: l'intuition galiléenne
2.3. Le piège méthodologique de son enseignement actuel
2.4. Pour une nouvelle approche de la théorie

3. Nouvelle présentation de la relativité restreinte
3.1. Le schéma de la théorie
3.2. Lien à l'expérience
3.3. Etude déformée de la géométrie euclidienne plane
3.4. Passage à la géométrie pseudo-euclidienne
3.5. Visions de la relativité de la simultanéité à une dimension
3.6. Transformation relativiste d'une photographie en relief
3.7. Introduction à la théorie des spineurs (utilise la notion de produit tensoriel: voir en attendant mieux au fichier de discussion extraite des newsgroups sur le produit tensoriel) 

4. Mécanique classique 
4.1. Introduction à la géométrie différentielle
4.2. Notion d'équilibre
4.3. Bilans des forces extérieures
4.4. Géométrie des forces dans le plan
4.5. Mécanique relativiste, introduction
4.6. Description des particules
4.7. Mécanique relativiste, formulation - E=mc2
4.8. L'espace des phases

5. Mécanique statistique
5.1. Fondements de la mécanique statistique.
5.2. Loi de Boltzmann
5.3. Energie, énergie libre
5.4. Entropie

6. Introduction à la physique quantique
6.1. Introduction: une théorie en deux parties
6.2. Le paradoxe EPR (long)

Sont prévus pour l'avenir:
6.3. Inspiration classique et statistique de la physique quantique. (long; cela expliquera notamment l'effet tunnel et les interactions à courte portée.)
6.4. Physique quantique, énergie et mesure
(espace hilbertien, axiomes U et R, décorrélation)
6.5. Spineurs et formulation quantique de l'expérience EPR
6.6. La téléportation quantique
6.7. La liaison covalente
 

4) Justifications de la théorie

Il est traditionnel d'ajouter aux cours de Relativité restreinte des justifications par les expériences historiques qui ont suscité sa découverte, accompagnées d'arguments logiques.
Mais une petite expérience d'exploration de l'Internet m'a montré les effets désastreux de cette tradition: à cause d'elle, beaucoup de gens s'imaginent que la relativité restreinte n'est encore aujourd'hui qu'une simple hypothèse dont la validité se fonde encore uniquement sur ces quelques misérables expériences, qu'il suffirait de réinterpréter par des explications à deux balles pour la remettre en question.
Or, nous sommes en réalité très loin de là: aujourd'hui, ses vérifications expérimentales sont innombrables, et elle est si étroitement liée à la physique des particules que parler de physique moderne sans la relativité restreinte est absolument inconcevable. Seules les preuves de la Relativité générale peuvent encore être énumérées, et valent donc la peine d'être mentionnées.
Références: voir page de liens

Alors, puisque pour justifier la relativité restreinte on n'a que l'embarras du choix entre les types de preuves, voici celles que je préfère:

a) Elle simplifie les formulations de la mécanique et de l'électromagnétisme.

La mécanique relativiste étant quasiment identique à la mécanique de l'équilibre, elle est plus simple que la mécanique classique.
Les formules de l'électromagnétisme se simplifient quand on les traduit dans les termes de l'espace à quatre dimensions: les quatre équations de Maxwell en deviennent automatiquement deux. Chacune de ces deux équations est une équation quadrivectorielle, dont l'égalité des composantes temporelles dans un repère choisi équivaut à une équation de Maxwell scalaire et l'égalité des composantes spatiales équivaut à une équation de Maxwell vectorielle. On voit ainsi que la distinction entre ces deux équations est purement artificielle.
Et une telle formulation simplifiée unifiant champ électrique et champ magnétique nécessite d'adopter des notations dont la définition repose de manière cruciale sur la notion d'espace-temps à quatre dimensions. Elle ne peut donc pas se concevoir autrement que dans le cadre relativiste.

Le problème est qu'on vous fait apprendre habituellement les opérateurs vectoriels en dimension 3 qui interviennent dans les équations de Maxwell de telle sorte que vous n'ayez pas la moindre chance d'imaginer comment cela se généralise en dimension 4 (il faudrait pour faire les choses proprement introduire le calcul tensoriel), mais vous pouvez tout de même admirer la symétrie des rôles entre temps et espace, champs électrique et magnétique, par la manoeuvre inverse:
Prenez les quatre équations de Maxwell, décomposez-les suivant toutes les composantes dans un repère orthonormé fixé, comme des équations scalaires séparées utilisant les dérivées partielles. Réordonnez le tout, admirez le résultat et faites-en un tableau.

Ensuite, ces deux équations peuvent se condenser de deux manières au choix en une seule equation également très simple, dont l'une par les potentiels (comme les équations de Maxwell dans un référentiel se traduisent par deux équations sur les potentiels), et l'autre en termes spinoriels.
Plus généralement, toute la physique moderne de haut niveau (physique des particules...) repose étroitement de cette manière sur la Relativité (au moins la restreinte), de telle sorte sans elle il n'y a plus de physique moderne du tout.

b) L'idée de symétrie

Une fois admise la constance de la vitesse de la lumière manifestement vérifiée par l'expérience, si on regarde de facon objective, c'est-à-dire en s'appyant sur l'intuition relativiste (qui est finalement plus simple que l'intuition classique), ce qui différentie les deux approches (relativiste/classique) n'est rien d'autre que le fait que l'approche classique traite  une direction (temporelle) de l'espace-temps d'une manière privilegiée, la différentiant des autres . Comme le géocentrisme place la Terre au centre de l'univers, ou comme on pourrait choisir n'importe quel point comme centre de l'univers.
Donc on peut traduire le débat (maintenant d'arrière-garde) classique/relativiste par un débat analogue consistant dans la question "L'univers a-t-il un centre, duquel les lois de la physique dépendent" ?
Or ce n'est pas parce qu'on découvre subitement que certains phénomènes physiques connus d'une manière indépendante de toute idée de centre de l'univers, admettent finalement une reformulation marrante en coordonnées sphériques, que cela prouve que l'univers a un centre (le centre du système de coordonnées), mais il est beaucoup plus sain de dire: l'univers doit être compris comme n'ayant pas de centre, tant qu'on n'a pas découvert une expérience de physique qui permette de le localiser.
Et puisqu'on a su jusqu'a présent exprimer les lois de la physique sans dépendre du centre de l'univers dans leur formulation, il est très raisonnable de penser qu'on ne trouvera jamais une telle expérience.

(J'ai rédigé une version plus détaillée de cet argument en réponse à une question sur fr.sci.physique; la voici).

5) Si cette présentation vous paraît difficile à comprendre

Deux commentaires:

1) Il est vrai que cette présentation n'est pas facile pour tout le monde. Comme je disais, cela nécessite un effort de travailler son intuition en sorte de rendre les choses d'une certaine manière intuitive. D'accord, tout le monde n'a pas la même forme d'intuition, et il n'y a pas qu'une intuition possible qui permette de comprendre. Cependant, au cas où vous ne seriez pas au courant, la thèse soutenue ici selon laquelle la présentation physiciste d'Einstein est finalement bien moins pertinente qu'une présentation géométrique pure n'est pas une nouvelle: voir ici un petit rappel historique en ce sens.

2) En ce qui concerne l'approche choisie ici: je pense avoir fait de mon mieux, comme résultat d'améliorations successives, d'une façon en tout cas bien meilleure que ce que j'ai pu voir ailleurs, et je ne vois pas ce que je pourrais encore améliorer. Mais, comme précaution ultime, j'ajouterai les remarques suivantes:

Il y a eu plusieurs mises à jour du document. C'est aussi ma responsabilité de chercher un moyen de rendre les choses compréhensibles.
Depuis mon adolescence il m'est arrivé a peu près une dizaine de fois de rédiger une nouvelle présentation de la Relativité restreinte, toujours différente, au fur et à mesure que mes idées murissaient. A chaque fois je croyais tenir la bonne, avant de me rendre compte que je devais la changer.
Il y a environ 3 ans, j'ai franchi un cap en osant pousser l'interprétation (l'intuition) comme étant concrètement celle de systèmes immobiles. Après, sachant quelles idées sont à transmettre c'est essentiellement une affaire de rédaction.
Peut-être que je devrais encore faire des améliorations, mais les bonnes idées sont bien là, seulement leur ordre et leurs proportions pourraient être à revoir. Si vous m'indiquiez des difficultes précises, je pourrais envisager encore des améliorations.

Reprenons ensemble les choses (a propos du document).
Il y a trois parties quasi-indépendantes (géométrie, philosophie, physique).
On peut laisser de côté la physique (c'est-à-dire la mécanique) dans un premier temps.
Il reste deux problèmes: la géométrie (construction d'une certaine géométrie non-euclidienne) et la philosophie (lien à l'expérience).
Ils doivent pouvoir être compris de façon indépendante.
Le seul point commun entre les deux, point assez superficiel en fait, est que la "vitesse" constante qui intervient dans la partie philosophique, faisant le rapport entre la longueur du trajet et le temps vécu, peut se rapprocher comme par hasard du rapport sur lequel on joue dans la partie géométrie entre les unités de mesure de l'abscisse et de l'ordonnée de la représentation utilisée, renommées ici "temps" et "espace". Cependant il y a une différence, c'est que le premier coefficient agit localement de maniere différentielle (dans une expérience l'observateur peut suivre une ligne courbe, autrement dit en langage expérimental subir une accélération), tandis que le second coefficient agit globalement sur tout l'espace  (seuls les référentiels galiléens sont bons pour l'étude analytique ou la vision théorique des choses).

Encore quelques remarques:
- Il est vrai qu'il y a peu de dessins dans mon texte, pourtant il s'agit bien d'une approche géométrique, et l'intuition visuelle est nécessaire à la compréhension. D'une certaine façon je dirais que dans mon texte j'ai tendance à "raconter les dessins": non pas faire une présentation axiomatique mais à parler des dessins, donner les instructions d'après lesquelles on peut les construire, en sorte que le lecteur doit, pour comprendre de quoi il s'agit, refaire les dessins en question de son côté.
Dans l'idéal, si vous vous concentrez bien sur les seuls dessins présents (chapitres 3.3 et 3.4), cela devrait suffire à tout expliquer, car toutes les idées essentielles sont concentrées dedans.
- Je reconnais qu'il serait bon de faire une animation de ces images, qui consisterait à faire varier le paramètre k^2, continuellement de 1 jusqu'à -1, les valeurs positives correspondant aux premiers dessins et les valeurs négatives aux seconds, le dessin de droite ne subissant aucune discontinuité, simplement que l'arc au voisinage de l'extrémité X du vecteur x, subit approximativement (quand k^2 est proche de zéro) une homothétie de centre X dont le rapport décroit de valeurs positives vers des valeurs négatives. Cet arc a la forme approximative d'un arc de parabole de sommet X. Mais je ne sais pas utiliser un logiciel pour faire les animations.
- Peut-être en relisant plusieurs fois mon document et en laissant décanter vous pourriez vous en sortir.
- Je reconnais que cette présentation est assez condensée. Comme je l'ai signalé d'ailleurs, la suite en projet de ce livre doit reprendre la geometrie pseudo-euclidienne de facon logique et progressive, en introduisant les concepts en détails. Mais cela prendra peut-être un an pour en arriver au point où les concepts geometriquesde ce résumé seront entierèment reconstruits.

6) Pour détailler ou aller plus loin

On peut approfondir la description de la physique de l'équilibre d'une part, et d'autre part avancer vers la Relativité générale.
Provisoirement, voici deux textes que j'avais faits il y a longtemps, qui en abordent certains aspects:
 Les modèles cosmologiques : mini-article sur l'expansion de l'univers dans les termes de la Relativité générale, n'utilisant que des outils mathématiques très simples.
Je l'avais écrit il y a très longtemps mais il est finalement insatisfaisant, notamment qu'il oublie la constante cosmologique (désolé, les dessins manquent).

D'autres textes écrits il y a plus longtemps, pouvant contenir quelques compléments mathématiques intéressants ayant rapport avec la Relativité restreinte, se trouvent sur la page géométrie.

Les lois de conservation dans le plan (pdf ) : il présente en particulier de la loi d'équilibre des forces avec leurs moments en dimension 2. Il fait aussi à la fin le lien avec un autre aspect de la Relativité générale.
Mais le traitement du moment des forces pose problème car pour bien en parler il faudrait se familiariser d'abord avec le calcul tensoriel.

Lois de conservation de dimension superieure : j'ai reussi a aborder en termes simples les notions de lois de conservation en dimension plus grande, sans utiliser le calcul tensoriel qui serait pourtant necessaire pour formuler les choses plus... "mathematiquement". Ceci permet d'approcher les notions a la base de l'electromagnetisme et de la relativite generale.

Explications sur deux problèmes paradoxaux de mécanique relativiste: la roue relativiste, et un problème qui fut posé dans le newsgroup.

Bilan du stage d'initiation à la Relativité générale 2002 (celui de 2003 attendra)

Liens

Les liens sont regroupés dans ma page liens de physique

Les informations suivantes sont extraites de fr.sci.physique:

Une compilation de messages des newsgroups sur le produit tensoriel : dvi , ps ou pdf.

Dans les bouquins, le Radix (tec&doc)
http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2852069571/qid=1007398337/sr=1-4/ref=sr_1_1_4/402-5445392-8621714
a surtout l'avantage de fournir des détails mathématiques bien complets.
Une bonne référence en anglais, c'est bien sur le Wheeler&Thorne
http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/0716703440/qid%3D1007398436/402-5445392-8621714
[Question prix, dans les deux cas mieux vaut aller dans une bibliothèque que chez son libraire, même favori !]

Un bon livre: Relativité et gravitation, P.Tourrenc, Armand Colin, 1992 (d'ailleurs référencé sur le site précédent).

Il y a un bouquin pas mal, plein de bon sens physique, mais je sais pas s'il est toujours dispo, c'est :
"Les bases physiques de la relativité générale" de Dennis W. Sciama


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