Problème de la mise en rotation d'une roue en relativité restreinte

(Ceci n'est qu'une esquisse des notions essentielles intervenant dans le problème, pour donner à ceux qui s'y intéressent les moyens d'y réfléchir sans rester dans l'impasse d'une approche erronnée)

D'abord une chose qu'il ne faut pas oublier, c'est que, la relativité restreinte empêchant la vitesse du son de dépasser celle de la lumière, il ne peut donc pas exister de solide absolument rigide. Et que donc lorsque des solides sont mis en mouvement autrement que suivant une translation rectiligne uniforme, ils se trouveront nécessairement déformés, aux échelles de précision qui sont en jeu quand on parle de problèmes relativistes.
En particulier pour la roue qui tourne.

Pour un observateur extérieur qui décrit le disque dans son référentiel galiléen constitué d'un espace à géométrie euclidienne, la longueur d'un cercle de rayon R sera toujours 2 pi R. Par conséquent, à cause de la contraction relativiste des longueurs, relativement au disque la circonférence sera vue comme supérieure à 2 pi R.

Supposons qu'on mette en place un moyen d'éliminer l'effet de la force centrifuge qui tendrait à élargir le rayon du disque. A savoir, par une force extérieure dirigée vers le centre qui compense la force centrifuge (force pouvant être fournie par des forces de tension courant le long des circonférences concentriques - laquelle peut naturellement venir de la situation expliquée plus bas, sauf que non car la vitesse du son est beaucoup plus petite que celle de la lumière donc ca ne suffirait pas).
Ainsi, abstraction faite de ce problème d'équilibrage de la force centrifuge, le problème se ramène à la situation suivante:
Mettre une roue en mouvement de rotation, c'est comme aplatir une calotte sphérique: c'est possible, parce que les matériaux sont élastiques, comme on vient d'expliquer. Mais alors, on obtient un solide déformé, qui n'est plus localement dans son état de repos par rapport à lui-même, il a des tensions internes.
On peut se ramener au cas localement normal au moyen d'un découpage dense du solide. En particulier, pour préserver les rayons on peut découper le disque suivant ses rayons jusqu'à une petite zone proche du centre restant
intacte.
Alors, en mettant le disque en rotation, il apparaît un écartement le long des découpages.

Supposons maintenant que la roue n'a pas été découpée. Ainsi, le mouvement entraîne un étirement géométrique, et cet étirement entraîne des forces de tensions dans le solide suivant la direction angulaire.
En pratique, c'est de toute façon négligeable devant la force centrifuge qui produit un étirement radial.

Malgré cela, Supposons dans la suite qu'il n'y ait pas d'étirement radial, bien qu'en pratique ce ne soit pas réaliste, la force centrifuge dépassant largement la force vers le centre due à la forme courbe de la tension angulaire, et ainsi à elle seule fera rapidement exploser la roue si on la fait tourner trop vite.

Et d'où vient l'énergie de déformation ?

On peut se demander: puisque toute déformation d'un matériau nécessite de l'énergie, il faut donner au disque l'énergie nécessaire pour qu'il puisse se déformer quand on lui donne de la vitesse. Quand on le met en mouvement, on devine que du coup une partie de l'énergie qui est donnée pour la rotation est emmagasinée en énergie de déformation ?

Voici ce qu'il en est exactement:

En effet, pour mettre en mouvement le disque, la force à exercer simultanément (par rapport à un observateur extérieur) sur chaque atome du disque doit entrer dans le bilan des forces qui déterminent l'accélération de l'atome. Relativement au disque vu localement (au voisinage de cet atome), cette accélération n'est pas simultanée mais s'exerce sur ce qui est devant avant ce qui est derrière.
Ainsi, localement, la partie avant étant plus étirée et donc plus tendue que la partie arrière, le bilan des tensions issu de cette différence liée à la rigidité du milieu se ramène à une force sur l'atome vers l'avant.
Ceci réduit d'autant la force qu'il reste à fournir de l'extérieur. Ainsi le travail des forces fournies par l'extérieur à la roue en est d'autant réduit, ce qui à travers une intégration par parties satisfait le bilan de la variation d'énergie du disque:

Energie du disque =

intégrale sur l'espace de
(transformation de (énergie de masse + énergie potentielle de la tension)

+  terme d'énergie négative apparaissant par transformation de la force de tension).

Ce dernier terme d'énergie négative ne concerne que la tension dans la direction du mouvement, tandis qu'une tension orthogonale (ici, radiale), comme celle effet de la force centrifuge, ne ferait pas apparaître de terme d'énergie par changement de référentiel.

Un truc qui peut guider la pensée: la formule du travail d'une force (énergie transmise = produit scalaire de force par déplacement) est toujours valable en mécanique relativiste. Cela permet de voir toute force (imaginons la tension d'un fil ou élastique) comme accompagnée d'une densité linéique d'énergie qui lui est égale, concentrée sur ce fil. Or ce système (force + énergie linéique) est invariant par changement de référentiel colinéaire au fil (la force et la densité linéique d'énergie restent égales et de même valeur dans tous les référentiels dont la vitesse est colinéaire au fil), et ne nécessite donc aucune force ni énergie pour son accélération (qui n'agit sur rien). Bien sûr en pratique l'énergie de masse dépasse de beaucoup la part d'énergie qui vole ainsi sur les ailes de la tension, et le reste de l'énergie nécessite toujours pas mal d'énergie pour l'accélérer...

Autre paradoxe relativiste


L'autre problème paradoxal de mécanique relativiste qui fut pose dans un newsgroup (surement fr.sci.physique) a disparu du web.

Ayant oublie de le recopier avant qu'il ne disparaisse du web, je le reecris de memoire (en 2013, les conversations plus vieilles que 2003 ayant disparu).

Soit un solide en forme de L, immobile dans un referentiel R, attache en son angle, et chaque extremite est soumise a une force orthogonale a son cote, de sorte que les 2 contributions au moment cinetique du solide se compensent, et ainsi qu'il soit en equilibre.

Probleme : analyser cet equilibre du moment cinetique dans un autre referentiel R', en mouvement par rapport au premier.

    A
<-||
    ||
    ||
    O=======B        --->Autre referentiel
                      |
                      v

Solution:
Entre les points de vue des 2 observateurs, la force en A est la meme ; la longueur OA est la meme. Donc le moment de la force exercee est le meme dans les 2 referentiels.

Par contre dans R', la force en B est plus faible, car elle transmet son impulsion (qui est la meme) en un temps ralenti. De plus, la longueur OB est plus courte. Donc le moment de la force exercee en B est doublement diminue.

Comment se fait-il, alors, que le moment cinetique du solide se conserve au cours du temps ?
Reponse : c'est parce qu'il ne se conserve pas au cours du temps !!!!

En effet, reprenons les choses depuis le debut. Imaginons qu'a un instant initial le solide n'etait soumis a aucune force. Puis brusquement il est soumis aux 2 forces (en A et en B) en meme temps.
Seulement, si ces forces ont simultanement demarre en A et en B relativement a R, cela n'etait pas simultane relativement a R' !
Et donc pendant ce laps de temps, le solide a acquis une certaine quantite de mouvement dans la direction verticale (orthogonale a son mouvement apparent). Cette quantite de mouvement verticale, donc, s'exerce en B, lequel est vu par R' comme se deplacant horizontalement. Or, a une quantite de mouvement verticale dont le point d'appui se deplace horizontalement, est associe un moment cinetique qui varie continuellement.

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