Fondements des mathématiques



Début de "livre" en ligne sur les fondements des mathématiques

Note : Le développement et l'amélioration de ces textes en français fut longuement interrompu au profit d'une version anglophone, ŕ l'adresse settheory.net. Mais désormais le nouveau site inclut une nouvelle version francophone en cours de développement : settheory.net/fr/.

La partie 1 ci-dessous a été essentiellement finalisée sauf 1.F; la partie 2 jusqu'à 2.6, et la partie 3 jusqu'à la page 6

Cycle fondateur des mathématiques

J'ai entrepris depuis plusieurs années d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.

Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Donc objectif comparable à celui de Bourbaki mais en simplifié et optimisé, se concentrant sur les bases, les notions fondamentales et générales sans chercher à détailler un grand nombre de sujets.
Caractéristiques de cette approche:
Notes:
- Conventions parfois personnelles, pouvant être changées lors de mises à jour: sur des sujets parfois méconnus ou n'ayant pas été traités traditionnellement de la manière que j'entreprends de faire, j'ai été parfois amené à développer des conventions (notations, terminologie), différentes des standard, puis parfois modifiées pour se conformer à ceux-ci ou pour d'autres raisons. Les révisions n'étant pas tout-à-fait complètes, il pourrait rester des incohérences. Notamment:
N'hésitez pas à me signaler vos idées d'améliorations et/ou signalement d'éventuelles conventions utilisées par d'autres auteurs qui vous sembleraient adéquates, pour d'autres notions que celles que je viens de mentionner.
- Problèmes de conversion en html : la conversion est faite avec TtH. C'est assez pénible d'adapter les sources tex pour être opérés ainsi, et le résultat n'est pas parfait... dommage qu'il n'y ait pas mieux pour convertir du tex en html sans mettre les formules en images (en effet je préfère faire du html pur que de convertir les formules en images). De toute façon, il n'y a actuellement en html que l'ancienne version obsolète des premiers textes, déconseillée.


- Les parties s'enchainent logiquement de manière serrée, et sont supposées lues attentivement dans l'ordre; seuls les complements philosophiques en violet sont facultatifs.

Voici d'abord le sommaire avec liens vers le contenu.
Plus bas figurent des commentaires : explication du plan, originalité de l'approche et motivations.

1. Théorie des ensembles (démarrage)  : format pdf, 15 pages pdf (=10+5) (mais la version html ci-dessous reste incomplète):
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Structure des théories
1.4. Termes et formules; connecteurs
1.5. Classes, structures partielles
1.6. Variables liées en théorie des ensembles
1.7. Quantificateurs
1.8. Premiers axiomes de théorie des ensembles
1.9. Principe de génération des ensembles

Compléments métamathématiques:
1.A. Théorèmes de complétude et d'incomplétude
1.B. Le temps métamathématique et le paradoxe de Zénon
1.C. Sens relatif des quantificateurs ouverts
1.D. Nature des classes et principe de génération des ensembles
1.E. Exemples concrets
1.F. Forces des théories des ensembles
1.G. Un ensemble peut-il appartenir à lui-même ?
1.H. Remarque sur les logiques alternatives

2. Premiers développements: 13 pages pdf.
2.1. Uplets, familles
2.2. Autres operateurs sur les ensembles
2.3. Quantificateur d'unicité
2.4. Propriétés des fonctions
2.5. L'axiome des parties ; produit et puissance
2.6. Bijections canoniques
2.7. Propriétés des relations binaires sur un ensemble
2.8. Relations d'équivalence et partitions
2.9. Axiome du choix
2.10. Ensembles ordonnés

3. Correspondances de Galois (13 pages pdf) (il n'est pas question ici d'équations algébriques, mais seulement de correspondances entre ensembles ordonnés, conformément à la définition de wikipedia)
3.1. Notion de correspondance de Galois
3.2. Correspondances de Galois isotones
3.3. Bornes supérieures et inférieures
3.4. Treillis complet
3.5. Théorème du point fixe
3.6. Transport de clôture
3.7. Préordre engendré par une relation
3.8. Ensembles finis
3.9. Relation d'équivalence engendrée, et autres
3.10. Relations bien-fondées

4. Langages et théories (25 pages pdf)
4.1. Les espèces
4.2. Langages
4.3. Structures relationnelles et morphismes

La suite n'est pas encore au point (il reste à faire insertions, réordonnements, corrections - la notation OL a été changée en OmégaL):
4.4. Théories relationnelles algébriques
4.5. Magmas
4.6. Algèbres
4.7. Condensation
4.8. Théories algébriques
4.9. Propriétés diverses
4.10. Ecritures et termes
4.11. Formules de la théorie des modèles
4.12. Vérités, démonstrations et contradictions
4.13. La dynamique des théories
4.14. Définitions
4.15. La dynamique des modèles
4.16. Invariants
4.17. Constructions



5. Brouillon de la suite (
extraits d'anciennes versions, n'ayant pas eu leur place dans les textes 1 à 4, vaguement réordonnés et non encore retravaillées)


Autres propriétés des ensembles finis
Cardinaux et axiomes supplémentaires
Ce que le schéma de remplacement signifie vraiment
Algèbres universelles
Puissance et logique d'ordre supérieur
Axiome du choix de la logique d'ordre supérieur
Théorème d'incomplétude
Bilan et perspectives
Simulations de dynamiques externes



Plan prévu pour après modifications futures :

5. Retour sur la théorie des ensembles: axiomes et cardinaux
On introduira notamment une axiomatisation de la théorie des ensembles comme présentée dans les numéros précédents, on discutera aussi de l'axiome de fondation et d'axiomes plus faibles que le schéma de remplacement.

6. Algèbre
abordée sous l'angle de la théorie des algèbres universelles

Notions de catégories, monoïdes...

7. Calcul tensoriel : d
ébut rédigé en anglais

...
En attendant les améliorations et développements suivants, vous pouvez lire d'autres parties de mon site: la relativité restreinte avec initiation à des notions de physique fondamentale, ou mes textes philosophiques aussi très intéressants, une sorte d'application de la pensée logique au monde où nous vivons... Aussi, si jamais vous souhaitez résoudre une grande part des problèmes du monde en seulement quelques efforts (quelques mois de réflexion, de rédaction, de recherche de contacts...), comme j'avais, à tort, osé espéré que quasiment toute personne dotée de morale aurait déjà dû le faire depuis longtemps, je signale à nouveau ici que cela est a votre portée, il ne tient qu'a vous de comprendre puis de chercher des programmeurs pour developper un logiciel suivant les concepts expliqués ici - et si ce n'est pas clair pour vous, merci de me contacter pour en débattre, mais SVP soyez sérieux, comprenez ma lassitude à réussir à convaincre des centaines de personnes pour rien (presque tous ceux avec qui j'en ai débattus, mais qui n'ont ensuite jamais rien fait ni rien dit après avoir été convaincus de la pertinence du projet).



Commentaires sur le texte 1

Cela commence par une introduction philosophique sur les fondements des mathématiques tiraillées entre d'une part le réalisme (platonisme) d'autre part le formalisme (ou une sorte de dynamisme), le fait que ces fondements sont sans origine absolue mais en forme de vaste boucle dynamique, et par conséquent la difficulté de principe à démarrer les mathématiques.
Faute d'une rigueur totale impossible, va venir l'effort d'un maximum de rigueur.
On démarre une théorie des ensembles et des fonctions, bien différente de ZF. Il ne s'agit pas de nier ZF ou de faire des choses incompatibles, mais de présenter les notions de départ (qu'est-ce qu'un ensemble ?...) et méta-notions (symboles, opérateurs, prédicats, termes, formules et énoncés) avec leur signification profonde, et leur mise en perspective méta-mathématique par d'autres aspects des fondements, notamment la théorie des modèles (= théorie des théories), de manière permettant d'introduire ensuite le plus naturellement possible les mathématiques "ordinaires". Et c'est justement sur la base de cette compréhension philosophique, qu'on pourra dans la suite (texte 5) expliquer pourquoi la théorie axiomatique ZF est effectivement un bon choix mais pour un autre rôle, celui d'outil de preuves de théorèmes pointus et d'indécidabilités à l'usage des spécialistes.

Le texte se termine par un principe général dit "principe de génération des ensembles", qui s'énonce "toute classe où les quantificateurs se traduisent en formules est un ensemble", d'où résultent systématiquement plusieurs symboles et axiomes comme cas particuliers: ensemble vide, paire, compréhension, union et image d'une fonction; cette liste se prolongera dans le texte 2 avec notamment les produits finis.

Texte 1 bis

Partant d'une présentation résumée des théorèmes de complétude et d'incomplétude justifiant les philosophies d'apparence opposée (respectivement platonisme et dynamisme) avec les idées de leurs preuves , on complète les explications philosophiques des fondements des mathématiques et de ses paradoxes, et des caractéristiques spéciales de la théorie des ensembles (où souvent les variables ne sont autorisées à varier que dans des ensembles): qu'est-ce qu'un ensemble ? Que signifie vraiment le paradoxe de Russel (qu'il ne peut pas y avoir d'ensemble de tous les ensembles) ? que signifie vraiment la distinction entre ensembles et classes (qui ne sont pas des objets mais des méta-objet définis par la donnée d'une formule indiquant si un objet donné lui appartient ou non) ? un ensemble peut-il appartenir à lui-même ? Sisi, c'est très sérieux !!! La distinction des ensembles parmi les classes se résume ainsi: contrairement à un ensemble, une classe reste potentiellement capable de contenir des éléments qui n'existent pas encore.
Une justification philosophique du principe de génération des ensembles, sera bientôt ajoutée.

Voir aussi ce résumé que j'ai écrit pour annoncer la mise au point de la première quarantaine de pages en décembre 2005 (le texte n'en était qu'à une ancienne version, largement retravaillée depuis). Voir cette discussion de forum "qu'est-ce qu'un ensemble" (novembre 2007) où je réexprime synthéthiquement mon avis sur la notion d'ensemble et la différence entre ensembles et classes, ainsi que les motivations générales de ce projet.

Commentaires sur le texte 2

Le contenu est relativement traditionnel, mais toujours réalisé avec le plus grand soin, au-dessus de l'habitude, avec notammen. Seuls points particulièrement notables en comparaison de la tradition:
-Définition et propriétés du quantificateur d'unicité
- des explications spéciales pour les n-uplets
- Exposition détaillée et commentée de l'axiome des parties, et de son statut et de sa signification exceptionnels: c'est le premier et principal postulat philosophiquement injustifié que certaines classes soient des ensembles, et ce fait est crucial car c'est de là que viennent toutes les indécidabilités des mathématiques. Ce n'est pas seulement un axiome mais aussi un enrichissement du langage de la théorie des ensembles par l'opérateur qui à tout ensemble associe l'ensemble de ses parties, sans lequel l'axiome seul serait impuissant.
Equivalence de cet "axiome" avec les constructions de produit et de puisance d'ensembles.

La traduction de toute relation entre deux ensembles en une application par fixation d'une variable, à savoir lors de la bijection canonique 𝓟(E×F) ≅ (𝓟(F))E, est notée par une flèche style vecteur; de même avec une flèche gauche pour l'autre variable.

L'axiome du choix est exposé par motif de clarification mais il ne sera pas utilisé par la suite, et très peu évoqué.

Commentaires sur le texte 3

Là viennent vraiment les choses sérieuses, une grande symphonie de mathématiques formelles faite d'une succession de formules, de définitions et de théorèmes, avec tout plein d'astuces raccourcissant toutes les démonstrations. Voilà donc encore bien des occasions de goûter à des "vraies mathématiques" qu'on pourrait qualifier comme de haut niveau sauf que rien n'est fastidieux et cela n'utilise rigoureusement aucun autre prérequis que le contenu des textes précédents, pas même la notion de nombre entier qui est ici absente.
Mais à part ça, c'est bien gentil direz-vous, mais que diable viennent donc faire les correspondances de Galois dans un projet ayant vocation à se concentrer sur ce qui est indispensable aux mathématiques de base ?
Eh bien, même si cela peut sembler dans un premier temps être des choses compliquées en plus, il s'agit en fait d'un investissement qui sera nettement rentabilisé par la suite, en plus du fait de rendre parfaitement rigoureux tout ce qui peut l'être, à la place de certaines idées vaseuses et autres impasses habituellement commises:
- Les notions de bornes supérieures et inférieures entrent dans un cadre systématique naturel tant pour leurs définitions que leurs propriétés, qui en facilite l'usage.
- Il s'agit de structures et propriétés qui se retrouvent très souvent, notamment en algèbre et dans la notion d'espace topologique, ce qui permettra d'appliquer directement les résultats ici obtenus au lieu de les redémontrer à chaque fois comme le fait la tradition.
- La notion d'ensemble fini est définie rigoureusement et indépendemment sans dépendre de quelque axiome (en particulier, sans s'appuyer sur les nombres entiers), avec plusieurs propriétés importantes (étude qui sera complétée dans le texte 5).
- Le nécessaire pour trivialiser la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
- L'étude des relations bien-fondées permettra notamment dans les parties ultérieures: de formaliser la notion de terme comme système mathématique et en justifier l'interprétation; de comprendre l'énoncé de l'axiome de fondation dans l'axiomatique ZF; de justifier les définitions par récurrence; et de maîtriser plus rapidement les nombres ordinaux.
- Cela éclairera également les rapports entre fondement, dynamique et réalité dans la théorie des théories qui sera exposée au texte suivant.

Rapide historique des mathématiques

(petit ancien chapitre qui était dans une version antérieure du texte de maths et n'y était pas vraiment à sa place)
La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n'ont été réalisés qu'au cours de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la mécanique céleste (Newton\dots ) puis de l'élec\-tro\-magnétisme, accompagnés d'outils d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre (résolution d'équa\-tions, nombres complexes). 
La théorie des ensembles n'a été étudiée qu'au début du 20ème siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié.

Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d'années d'études (!).

Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières années d'université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus évolué depuis la ``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a été assez désastreuse pour un grand nombre d'élèves de cette époque, suivie en quelques années d'un retour à une situation plus équilibrée), si ce n'est dans le sens de l'appauvrissement des contenus.
La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus qu'à partir du niveau Master (plutôt même deuxième année de Master).

Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d'application, fiers de faire des mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.

Calcul propositionnel

Voici une piste de recherche que je brade sur un sujet dont je ne suis pas sûr d'avoir un jour le temps de le développer.

La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages.
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.

Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole.
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z.

Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome.
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple).

Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants.
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse.
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions.

Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace:
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini)
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles).
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C).
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C).
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.

Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule.
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés):
- tiers exclus: {{A}}~A
ce qui donne notamment les simplifications:
{{{A}},B}~{A,B}
{{{A}},A}~{A}
mais aussi avec deux:
{{{A,B}},C}~{A,B,C}
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble:
{{A}}uB~AuB
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables.
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi:
{V,A}~{A}

- Tout F est absorbant:
{F,A,B,...}~{F}~V

- Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus).
Par exemple:
{A,{A,B}}~{A,{V,B}}
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}}
à son tour simplifiable...

Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote":
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C).
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation):
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}.
qui rendait enfin le système complet.
Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).

Un paradoxe

Il y a un super paradoxe de la théorie des ensembles, mais dont je déconseille l'étude aux jeunes esprits qui risqueraient de passer des nuits blanches jusqu'à douter de la consistance des mathématiques ;-). Heureusement, la démonstration paradoxale en question étant assez ardue (et reposant sur des définitions et résultats standard omis ici), a de bonnes chances de n'être pas compris par ces esprits fragiles, en sorte de ne pas les affecter.

Remarque: il y a 2 autres sujets qui explorent essentiellement le même fond paradoxal, avec à peu près les mêmes tenants et aboutissants bien que sous des aspects un peu différents par ailleurs, et, peut-on dire, complémentaires:
1)  le paradoxe de Banach-Tarski
2) L'axiome de symétrie de Freiling

Voici:
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai.
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien.
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à cela justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans.

En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'une ou l'autre de ces copies translatées, soit finalement une chance nulle. Bien.

Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1.
Choisissons donc un tel bon ordre b sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans lui-même défini par:
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre b.

De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre b vers [0,1] muni de l'ordre habituel.
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !)
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour l'ordre b ?
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés des discontinuités).
Mais si on tire y avant x...

Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.

En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible.
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.


Autres:
Le cours de théorie des ensembles de Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super adapté au niveau des étudiants de 2ème année ici.


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dont :
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