(petit ancien chapitre qui était dans le texte de maths et
n'y était pas vraiment à sa place)
La recherche en mathématiques a connu une progression
accélérée dans l'histoire. Depuis l'étude
de la géométrie par les Grecs, des progrès
importants n'ont été réalisés qu'au cours
de ces derniers siècles avec par exemple l'étude de la
mécanique céleste (Newton\dots ) puis de
l'élec\-tro\-magnétisme, accompagnés d'outils
d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre
(résolution d'équa\-tions, nombres complexes).
La théorie des ensembles n'a été
étudiée qu'au début du 20ème siècle
par Cantor. C'est surtout au vingtième siècle que le
développement des mathématiques et de la physique
fondamentale a été explosif. En gros, les théories
fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base
ont été découvertes dans la première
moitié du siècle; puis, après une restructuration
effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki
(seulement en maths et non en physique), de très nombreux
développements ont été réalisés dans
la seconde moitié.
Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la
recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche possibles
sont très nombreuses, leur multiplication étant
désormais principalement limitée par le nombre de
mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus nombreux et que
l'outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des
travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine,
puisque l'acquisition par une seule personne de toutes les
connaissances actuellement disponibles en mathématiques par
exemple nécessiterait quelques milliers d'années
d'études (!).
Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans le
secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux premières
années d'université reflète très mal cette
richesse et ce foisonnement~: il est constitué d'un tronc commun
qui n'a pratiquement plus évolué depuis la
``réforme des mathématiques modernes'' (dont la mise en
place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a
été assez désastreuse pour un grand nombre
d'élèves de cette époque, suivie en quelques
années d'un retour à une situation plus
équilibrée), si ce n'est dans le sens de
l'appauvrissement des contenus.
La diversité et les derniers développements de la
recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus
qu'à partir du niveau Master (plutôt même
deuxième année de Master).
Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute
application aux autres sciences; certains même ont horreur de
toute idée d'application, fiers de faire des
mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines de
recherche en mathématiques sont de près ou de loin
susceptibles d'applications, notamment en Physique.
La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une
horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et
"non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine
d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien
exactement, au fait ?) pour former un
système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de
démontrer
toute formule universellement valide). S'ensuit une
démonstration de
ce fait (théorème de complétude du calcul
propositionnel) qui prend un certain nombre de pages.
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.
Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant
au
nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole.
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent
(i.e.
où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien
connu
(utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il
suffit
d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles)
dit
que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que
donc
en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence
appliquée
à ce corps donne que c'est Z/2Z.
Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole
entre dans
le cadre des algèbres universelles, donc toute
égalité dans un tel anneau donné par
générateurs et relations se démontre par une
chaîne d'égalités dont chacune est la simple
utilisation d'un axiome.
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par
générateurs et relations (donc une théorie du
calcul propositionnelle), le 0 est
égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est
démontrable
suivant cet algorithme (et plus généralement si un
élément
est égal à 1, son égalité à 1 est
démontrable).
Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z
(respectivement:
toute proposition indémontrable a un contre-exemple).
Mais il y a encore d'autres manières de formuler les
formules et les démonstrations qui collent naturellement
à la
nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des
algorithmes
plus puissants.
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les
yeux,
comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une
formule
donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou
pas, il suffit de prendre une
à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des
variables et
de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête
calcul
booléen que les ordinateurs sont capables de faire à
toute
vitesse.
On peut rétorquer à cela que la complexité de ces
calculs
est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous
accorde.
C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent
beaucoup
les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui
s'étendent à
plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul
formel
sur les propositions.
Alors, voici comment implémenter un tel calcul de
manière efficace:
Définissons une formule propositionnelle F comme étant un
ensemble
fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que
pour
tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont
l'intersection
avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et
héréditairement
fini (l'union de F, de ses éléments, des
éléments
de ses éléments,... est fini)
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels
ensembles).
Le singleton représente le non, l'ensemble représente le
"ou"
entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on
préfère, non(A et B et C).
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C).
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes
propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme
étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.
Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications,
chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble)
à une
autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement
équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en
suis pas sûr - ou bien
en modifiant légèrement l'expression des règles du
genre
échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence
engendrée
par ces règles est équivalente à: quelle que soit
la
succession de simplifications appliquées à partir de
chacune
jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la
même
formule.
Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~
désignant
l'équivalence tautologique entre énoncés):
- tiers exclus: {{A}}~A
ce qui donne notamment les simplifications:
{{{A}},B}~{A,B}
{{{A}},A}~{A}
mais aussi avec deux:
{{{A,B}},C}~{A,B,C}
et en général, en notant u le symbole d'union, si A est
un
ensemble:
{{A}}uB~AuB
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une
formule
hormis ceux des variables.
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais
on
peut voir ça comme cas particulier du cas
précédent à
cause de la construction de V). Ainsi:
{V,A}~{A}
- Tout F est absorbant:
{F,A,B,...}~{F}~V
- Règle de substitution : Tout élément d'un
ensemble est substituable à V à l'intérieur de
tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins
sûr que ça passe la proposition ci-dessus).
Par exemple:
{A,{A,B}}~{A,{V,B}}
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}}
à son tour simplifiable...
Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de
substitution que comme règle d'inférence entre formules
démontrées, lesquelles n'étaient
considérées que comme formant liste
ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable
par
V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte
elle-même
comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un
système
formel complet du calcul propositionnel, j'ai été
amené
à formuler l'"axiome d'Aristote":
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C).
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation):
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}.
qui rendait enfin le système complet.
Mais je m'aperçois que la règle de substitution
démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son
introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence
de deux formules par la relation
d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en
tout
cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par
égalités
de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à
vérifier).
Voici:
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses
énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide.
Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble
contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut
pas construire, alors il semble raisonnable
de penser que l'axiome du choix est vrai.
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante:
pour
chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de
ses
éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera
l'élément
recherché. Bien.
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre
réel entre
0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au
hasard,
et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà
justement
qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on
manipule
est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le
fait
que si on tire un nombre réel au hasard par ce
procédé, on tombe effectivement dedans.
En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains
réels
stable par les opérations) devrait être carrément
plus
petit puisqu'en le translatant par un réel
qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et
disjoint du
premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en
tirant
un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans
l'un
que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien.
Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du
choix dit
que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des
réels
entre 0 et 1.
Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons
l'application
f de [0,1] dans lui-même défini par:
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard
dans
[0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o.
De manière évidente, f est une fonction croissante de
[0,1]
muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel.
Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un
ensemble
bien ordonné vers R ne croît que par
discontinuités, c'est-à-dire
que sa variation est la somme des f(x) - max f(y) pour y<x
(vérifiez
!)
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels x et
y
au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que x<y pour
l'ordre
o ?
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des carrés
des
discontinuités).
Mais si on tire y avant x...
Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.
En fait, la convention communément admise veut que tirer un
réel dans chaque partie soit possible conformément
à l'axiome du
choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à
savoir
ici, de manière uniforme), un nombre réel
aléatoire dans
[0,1] soit impossible.
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire
étant uniquement quelque chose de défini comme
approximations successives (tirer les 100 premières
décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et
non comme quelque chose d'actuellement infini.
Autres:
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la
théorie des ensembles
Voir aussi un bout de
cours d'algèbre linéaire qui n'était pas super
adapté au niveau des étudiants de 2ème
année ici.
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physique
mathématique
dont :
Relativité
restreinte suivant une
nouvelle approche
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