Note : Le développement et l'amélioration de ces textes en français fut longuement interrompu au profit d'une version anglophone, à l'adresse settheory.net. Le nouveau site inclut une nouvelle version francophone en cours de développement : settheory.net/fr/ rendant la présente page en grande partie obsolète.
La partie 1 ci-dessous a été essentiellement
finalisée sauf 1.F; la partie 2 jusqu'à 2.6, et la
partie 3 jusqu'à la page 6
J'ai entrepris depuis plusieurs années d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici.
Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Donc objectif comparable à celui de Bourbaki mais en simplifié et optimisé, se concentrant sur les bases, les notions fondamentales et générales sans chercher à détailler un grand nombre de sujets.La traduction de toute relation entre deux ensembles en une
application par fixation d'une variable, à savoir lors de
la bijection canonique 𝓟(E×F)
≅ (𝓟(F))E,
est notée par une flèche style vecteur; de
même avec une flèche gauche pour l'autre variable.
L'axiome du choix est exposé par motif de clarification
mais il ne sera pas utilisé par la suite, et très
peu évoqué.
(petit ancien chapitre qui était dans une version
antérieure du texte de maths et n'y était pas
vraiment à sa place)
La recherche en mathématiques a connu une progression
accélérée dans l'histoire. Depuis
l'étude de la géométrie par les Grecs, des
progrès importants n'ont été
réalisés qu'au cours de ces derniers siècles
avec par exemple l'étude de la mécanique
céleste (Newton\dots ) puis de
l'élec\-tro\-magnétisme, accompagnés d'outils
d'analyse mathématique, et aussi de l'algèbre
(résolution d'équa\-tions, nombres complexes).
La théorie des ensembles n'a été
étudiée qu'au début du 20ème
siècle par Cantor. C'est surtout au vingtième
siècle que le développement des mathématiques
et de la physique fondamentale a été explosif. En
gros, les théories fondamentales de la science moderne
au-delà des notions de base ont été
découvertes dans la première moitié du
siècle; puis, après une restructuration
effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki
(seulement en maths et non en physique), de très nombreux
développements ont été réalisés
dans la seconde moitié.
Nous savons que le monde des mathématiques est infini et
que la recherche ne s'arrêtera pas. Les voies de recherche
possibles sont très nombreuses, leur multiplication
étant désormais principalement limitée par le
nombre de mathématiciens, alors qu'ils sont toujours plus
nombreux et que l'outil informatique facilite la rédaction
et la diffusion des travaux de recherche.
La recherche nécessite de se spécialiser dans un
domaine, puisque l'acquisition par une seule personne de toutes
les connaissances actuellement disponibles en mathématiques
par exemple nécessiterait quelques milliers d'années
d'études (!).
Cependant, en France, l'enseignement des mathématiques dans
le secondaire (collège, lycée) et jusqu'aux
premières années d'université reflète
très mal cette richesse et ce foisonnement~: il est
constitué d'un tronc commun qui n'a pratiquement plus
évolué depuis la ``réforme des
mathématiques modernes'' (dont la mise en place brutale,
excessive et mal préparée vers 1968 a
été assez désastreuse pour un grand nombre
d'élèves de cette époque, suivie en quelques
années d'un retour à une situation plus
équilibrée), si ce n'est dans le sens de
l'appauvrissement des contenus.
La diversité et les derniers développements de la
recherche en mathématiques ne s'expriment pratiquement plus
qu'à partir du niveau Master (plutôt même
deuxième année de Master).
Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de
toute application aux autres sciences; certains même ont
horreur de toute idée d'application, fiers de faire des
mathématiques ``pures''; mais une bonne partie des domaines
de recherche en mathématiques sont de près ou de
loin susceptibles d'applications, notamment en Physique.
La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est
une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique"
et "non") qui aboutit à la nécessité d'une
dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait
comment (combien exactement, au fait ?) pour former un
système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant
de démontrer toute formule universellement valide).
S'ensuit une démonstration de ce fait
(théorème de complétude du calcul
propositionnel) qui prend un certain nombre de pages.
Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple.
Il y a une manière de faire plus simple qui pendait
pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre
de Boole.
Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau
idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un
théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix;
ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre
sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout
anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en
quotientant par cet idéal on obtient un corps.
L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est
Z/2Z.
Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole
entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute
égalité dans un tel anneau donné par
générateurs et relations se démontre par une
chaîne d'égalités dont chacune est la simple
utilisation d'un axiome.
Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par
générateurs et relations (donc une théorie du
calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la
théorie est auto-contradictoire), cela est
démontrable suivant cet algorithme (et plus
généralement si un élément est
égal à 1, son égalité à 1 est
démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un
morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition
indémontrable a un contre-exemple).
Mais il y a encore d'autres manières de formuler les
formules et les démonstrations qui collent naturellement
à la nature de ce problème et qui devrait donc
aboutir à des algorithmes plus puissants.
D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever
les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps
fini si une formule donnée entre variables
propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre
une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des
variables et de regarder si ça marche dans tous les cas.
C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont
capables de faire à toute vitesse.
On peut rétorquer à cela que la complexité de
ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables,
ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules
qui répètent beaucoup les quelques mêmes
variables, moins bon pour celles qui s'étendent à
plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul
formel sur les propositions.
Alors, voici comment implémenter un tel calcul de
manière efficace:
Définissons une formule propositionnelle F comme
étant un ensemble fondé sur les variables
propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X
auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X
est un ensemble de variables propositionnelles) et
héréditairement fini (l'union de F, de ses
éléments, des éléments de ses
éléments,... est fini)
(dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels
ensembles).
Le singleton représente le non, l'ensemble
représente le "ou" entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on
préfère, non(A et B et C).
{A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C).
On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes
propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme
étant: F={} (ensemble vide), V={{}}.
Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications,
chaque règle faisant passer d'une formule (en tant
qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple
qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à
vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant
légèrement l'expression des règles du genre
échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence
engendrée par ces règles est équivalente
à: quelle que soit la succession de simplifications
appliquées à partir de chacune jusqu'à ne
plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même
formule.
Ces règles sont les équivalences suivantes (le
symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre
énoncés):
- tiers exclus: {{A}}~A
ce qui donne notamment les simplifications:
{{{A}},B}~{A,B}
{{{A}},A}~{A}
mais aussi avec deux:
{{{A,B}},C}~{A,B,C}
et en général, en notant u le symbole d'union, si A
est un ensemble:
{{A}}uB~AuB
ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression
d'une formule hormis ceux des variables.
- Tout V dans un ensemble peut être éliminé
(mais on peut voir ça comme cas particulier du cas
précédent à cause de la construction de V).
Ainsi:
{V,A}~{A}
- Tout F est absorbant:
{F,A,B,...}~{F}~V
- Règle de substitution : Tout élément d'un
ensemble est substituable à V à l'intérieur
de tout autre élément (ça, je suis beaucoup
moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus).
Par exemple:
{A,{A,B}}~{A,{V,B}}
{A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}}
à son tour simplifiable...
Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de
substitution que comme règle d'inférence entre
formules démontrées, lesquelles n'étaient
considérées que comme formant liste ouverte
d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par
V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se
comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour
que ça forme un système formel complet du calcul
propositionnel, j'ai été amené à
formuler l'"axiome d'Aristote":
Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C).
Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation):
V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}.
qui rendait enfin le système complet.
Mais je m'aperçois que la règle de substitution
démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend
donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que
l'équivalence de deux formules par la relation
d'équivalence engendrée par ces règles (qui
est en tout cas complète pour le calcul propositionnel)
s'obtienne par égalités de leurs formes minimales
(par simplifications) respectives (à vérifier).
Voici:
Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses
énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non
vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties
d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même
celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable
de penser que l'axiome du choix est vrai.
Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition
suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire
"au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de
tous ces hasards formera l'élément recherché.
Bien.
Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre
réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son
développement binaire au hasard, et le tour est
joué. C'est d'ailleurs à cela justement qu'on
reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on
manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en
oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au
hasard par ce procédé, on tombe effectivement
dedans.
En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'une ou l'autre de ces copies translatées, soit finalement une chance nulle. Bien.
Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du
choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier
l'ensemble des réels entre 0 et 1.
Choisissons donc un tel bon ordre b sur [0,1], et
définissons l'application f de [0,1] dans lui-même
défini par:
f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au
hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre b.
De manière évidente, f est une fonction croissante
de [0,1] muni de l'ordre b vers [0,1] muni de l'ordre habituel.
Or, un théorème dit que toute fonction croissante
d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par
discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la
somme sur x des f(x) - (sup f(y) pour y<x) (vérifiez !)
Maintenant, posons-nous la question: si on prend deux réels
x et y au hasard dans [0,1], quelle est la probabilité que
x<y pour l'ordre b ?
Si on tire d'abord x puis y, on trouve 1/2(1+somme des
carrés des discontinuités).
Mais si on tire y avant x...
Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons.
En fait, la convention communément admise veut que tirer
un réel dans chaque partie soit possible
conformément à l'axiome du choix, mais que tirer
SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de
manière uniforme), un nombre réel aléatoire
dans [0,1] soit impossible.
Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire
étant uniquement quelque chose de défini comme
approximations successives (tirer les 100 premières
décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...)
et non comme quelque chose d'actuellement infini.
Autres:
Le cours de théorie des ensembles de
Martial Leroy est provisoirement hébergé ici.
Commentaires des textes de D.Moiseti sur la
théorie des ensembles
Voir aussi un bout de mon cours d'algèbre linéaire
qui n'était pas super adapté au niveau des
étudiants de 2ème année ici.
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la physique mathématique
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restreinte suivant une nouvelle approche
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