Commentaires des textes de D. Moiseti sur la théorie des ensembles

par Sylvain Poirier

Avant propos

J'ai été améné à les examiner du fait du classement en première position google de son site; il avait promis de mettre un lien vers ceux qui lui répondraient; il l'a fait un moment vers ici puis l'a enlevé. Depuis il a modifié ses textes.
Ainsi il se fait sans cesse réfuter et est ainsi parfois amené à modifier ses textes mais ce faisant il croit toujours invariablement avoir raison contre le reste du monde. S'il était ainsi beaucoup plus intelligent que le reste du monde comme il le prétend, aux arguments assez forts pour renverser ce qui a été établi depuis longtemps, son argumentaire aurait dû être clair, sans faille et invariable dès lors qu'il l'aurait estimé digne d'être publié, ce qui n'est pas le cas.

Ce qui suit est une réponse à ce que j'ai pu en lire lorsque je me suis penché sur ses écrits, l'été 2006. Il ne vaut pas la peine que je fasse davantage attention à ses nouvelles versions. Voir d'ailleurs une ancienne version de son site. D'après ce qu'il a dit là, il aurait versé les 1000 euros. Cependant, il croit toujours avoir raison.
Ses erreurs ont déjà été décelées par plein de gens très souvent, mais il s'en moque et continue de mentir effrontément en prétendant que personne ne lui a trouvé d'erreur.

Commentaire général

Les différents textes manifestent beaucoup d'amateurisme... mais bon, un esprit naïf, après tout ça permet parfois de se rafraichir les idées. Je n'énumèrerai pas ici la liste exhaustive des erreurs ou imprécisions plus ou moins graves qui figurent dans les textes (ce serait trop long et n'aurait pas de sens), mais les idées principales qui en émanent, soit des erreurs fondamentales, soit des idées justes et intéressantes pouvant correspondre à ce qui est évoqué ne serait-ce que partiellement, même si cela nécessitera parfois de les reformuler complètement

Commentaire du texte A (relecture du théorème de Cantor)

Ce texte essaie de trouver une faille dans la démonstration du théorème de Cantor, en invoquant certaines idées. Idées qui peuvent avoir un certain intérêt par ailleurs, mais qui ici se trouvent utilisées de façon bien incohérente.
D'abord, il est bien difficile de savoir de quelle idée il veut parler exactement. Son texte semble d'abord présenter une alternative dans les manières de définir entre général (2.1) et local (2.2). Malheureusement, tel que c'est écrit là, il compare deux choses incomparables: dans 2.1, comment savoir si une relation donnée a telle propriété; dans 2.2, il indique une certaine méthode générale pour définir une relation particulière. Ces deux questions n'ont pas du tout le même objet. L'avantage du 2.2 est qu'on pourrait lui trouver un contraire, à savoir qu'on pourrait envisager la possibilité de définir un certain objet complexe (par ex. une relation ou une fonction), non pas comme rassemblement de questions sur chacun de ses éléments pour savoir si cet élément lui appartient ou non, mais sous forme d'une propriété globale de cet objet, à savoir un énoncé qui en dépend de tout l'objet et dont on montrerait par ailleurs qu'il en existe une et une seule valeur possible pour laquelle l'énoncé soit satisfait.
Ces deux choses ne s'opposent pas, mais la première est un cas particulier de la deuxième. A savoir, toute définition «locale» d'une relation R peut aussi se voir comme énoncée comme définition globale, en disant que R se définit «globalement» comme étant l'unique relation qui satisfait un énoncé de la forme (pour tous x,y, (xRy <=> machin)), où machin est l'énoncé de la définition locale de R.
Cette distinction est une propriété, non de la relation en elle-même, mais de la forme de sa définition. Ce n'est donc pas une propriété intrinsèque (portant sur la nature) de la relation. En effet, une relation existe, quelle que soit la manière dont on peut la définir. Si une relation peut se définir "localement", cela ne l'empêche pas de se définir aussi "globalement" et inversement. D'ailleurs, si j'ai défini une application f "globalement", en quoi donc la définition suivante de l'application g n'est-elle pas locale:
g:x -> f(x) ?
Or ainsi définie, g=f. Peut-être l'utilisation d'une donnée globalement définie interdit-elle de qualifier de "local" le résultat ?

On peut même faire mieux:
si on peut définir f par un énoncé global E(f) (c'est-à-dire qu'il existe un unique f tel que E(f) est vrai) on peut alors définir «localement» f(x) «sans utiliser f» comme étant «l'unique y tel qu'il existe une application g telle que E(g) et g(x)=y».
Dès lors, reste-t-il une différence entre définition locale et définition globale ???

Encore une remarque: une définition "locale" de R est une définition de R énoncée sous la forme: une certaine propriété "locale" est vraie quelles que soient les valeurs des variables. Mais pas n'importe quelle propriété, mais celle du fait que xRy équivaut à un certain énoncé. A cette différence près et l'utilisation de 3 variables au lieu de 2, l'énoncé de la condition qu'une relation est une relation d'ordre, serait de cette forme.

La relation d'appartenance n'a pas de définition locale puisqu'elle n'est pas définie du tout: c'est une notion première. On pourrait même au contraire la voir comme cernée par ses propriétés globales, à savoir l'obéissance aux axiomes de la théorie des ensembles.
3.2. Je ne vois pas ce que signifie "on ne peut pas dire si A est nécessairement une relation d'appartenance".

4.2. «la variable h étant muette est quelconque et exige un raisonnement d'ordre général»: qu'est-ce qu'un raisonnement d'ordre général ? Pourquoi l'exiger ? Quel rapport avec le fait que h est muette ? h ne désigne-t-il pas une bonne application au même titre que n'importe quelle bonne application, ou bien y a-t-il deux types d'applications (ou d'ensembles, ou de relations...), celles qui sont locales et les autres ? Pourquoi multiplier les sortes d'objets mathématiques, comme si cela ne suffisait pas de distinguer entre les éléments, les ensembles, les relations et les applications, qu'il faille en plus distinguer les applications comme ci et les applications comme ça, et s'interdire de manipuler les unes comme de vrais objets ?
Ce qui est défini localement étant un cas particulier de ce qui est défini globalement, la relation de non appartenance, si on la dit locale, existe donc aussi bien globalement, donc il n'y a aucune raison d'hésiter à l'utiliser. Et quelle que soit l'origine (la forme de définition) de quelque chose, rien n'empêche de travailler dessus comme sur tout bon objet.

Question d'indécidabilité: on peut faire encore plus simple: si je prends un réel x qui est quelconque, alors je ne peux pas savoir si x=0 ou s'il est positif, c'est indécidable. Mince alors, les énoncés indécidables ne coûtent pas bien cher à ce prix. Mais je ne vois pas le rapport avec le schmilblick: en logique standard, l'énoncé (A ou non A) est toujours vrai, même si l'énoncé A est indécidable. Pourquoi nier l'existence de ce qu'on ne peut pas calculer ? Si ne nie ce que je ne peux pas calculer, alors je dois aussi nier l'ensemble des entiers parce que je ne peux pas tous les énumérer (je peux commencer mais je ne peux pas arriver à la fin). Si je nie l'ensemble des entiers, je nie aussi les réels. Nous voilà mal barrés pour faire de la topologie et de l'analyse...

6.1. «c'est la correspondance x-> f(x) qui définit l'application»  = «définition locale» ???
Rien à voir, il n'affirme rien mais ne fait que du délayage syntaxique, tout comme plus haut j'ai défini "localement" g comme étant égale à f quelle que soit la manière dont f peut être définie ou pas définie ("quelconque"). Une application existe indépendamment du fait qu'elle peut ou non se définir par un énoncé, ce dont on se fiche complètement.
"Question": si pour toute application f on admet "x-> f(x)" comme définition "locale" de f alors oui, sinon non si j'ai bien compris la question (s'il y a plusieurs infinis et qu'on n'accepte comme "local" que ce qu'on peut "calculer" autrement dit des éléments d'un ensemble dénombrable (l'ensemble des calculs possibles), ce qui n'appartient pas à cet ensemble dénombrable ne sera pas localement définissable).

«quel que soit x on peut démontrer que la formule x app à f(x) est vraie ou fausse»
On sait logiquement que toute formule qui a un sens est vraie ou fausse, c'est tautologique sans avoir besoin de vérifier ou calculer quoi que ce soit sur son contenu. Depuis Gödel qui a su démontrer qu'un certain énoncé est vrai et indémontrable, on sait bien qu'il y a une distinction nette à faire entre vrai est démontrable. Si je dis: soit x un réel quelconque, alors je ne peux pas dire combien vaut x, ni le démontrer. Pourtant, quelle que soit sa valeur, elle existe bien, et j'ai le droit d'écrire des énoncés sur f(x), qui ont un sens et si f est une application de R dans R et y est un réel quelconque, l'énoncé (f(x)<y ou f(x)=y ou f(x)>y) sera toujours vrai sans avoir besoin de connaître ni x, ni f, ni y.

L'hypothèse du continu: il y a un mauvais réflexe couramment répandu consistant à utiliser l'hypothèse du continu. Mais si seulement on ne s'acharnait pas stupidement pour copier sur les auteurs précédent à employer pour désigner une chose une notation qui a été définie comme désignant autre chose, en l'occurence noter aleph 1 qui a été défini comme premier ordinal non dénombrable, pour désigner le cardinal de R, on s'apercevrait que pour les mathématiques ordinaires on n'a jamais besoin d'utiliser l'hypothèse du continu (ça ne facilite strictement rien).

(relation de bon ordre sur P(w)) «ni exhiber la définition locale d'une telle relation».
Toute distinction entre définition locale et définition globale étant évacuée par les raisonnement précédents, des études de haut niveau en théorie des ensembles permettent de découvrir qu'il existe un énoncé (effroyablement compliqué, qu'il n'est pas raisonnable de tenter d'écrire ici), définissant une certaine relation sur P(w), tel que la question «la relation ainsi définie est-elle un bon ordre sur P(w)» est indécidable.

«on ne peut démontrer le théorème de bon ordonnance sans contredire le théorème de Cantor»
?????????
On ne peut pas contredire le théorème de Cantor puisque c'est un théorème.

Dans ZFC:
Le théorème de bon ordonnance a été démontré à l'aide de l'axiome du choix. Il ne contredit nullement le théorème de Cantor.
La question de l'existence d'une définition pour un objet donné, n'est pas un énoncé mathématique exprimable dans le langage de théorie des ensembles ordinaire, c'est pourquoi on ne l'invoque jamais. En logique de haut niveau on arrive à construire de tels énoncés mais c'est très difficile et il faut être très fort pour pouvoir les manier correctement.
Cela est totalement inutile pour le théorème de Cantor, qui est vrai tel qu'on l'énonce habituellement.

Commentaire du texte B prétendant démontrer que dans ZFC tous les ensembles infinis sont de puissance dénombrable

Beaucoup d'erreurs dans ce texte, des petites et des grandes, et éventuellement une ou quelques utilisations naïves de résultats vrais difficiles à démontrer. Sans vouloir chipoter sur les détails, je parlerai surtout des erreurs les plus flagrantes, celles qui jouent un rôle fondamental dans la structure du raisonnement.

Pour résumer le tout: il prétend démontrer que tous les ensembles infinis sont dénombables, par un long raisonnement plein d'erreurs qui utilise plusieurs fois implicitement l'hypothèse que tous les ensembles infinis sont dénombrables.

Début du texte: définitions d'apparence bien lourdes et obscures au premier abord (je ne pinaillerai pas sur les éventuelles erreurs d'étourderies) pour dire, si j'ai bien compris, qu'il considère la notion de relation d'ordre total strict D sur une partie d'un ensemble E, dans laquelle tout élément majoré a un successeur et tout élément minoré a un prédécesseur. La relation de succession étant notée A.

Petit détail: je n'ai pas trouvé la définition de la notion d'"élément initial" et "élément final", mais bon, on comprend.

Autre petit détail: le raisonnement voulant montrer qu'ils sont distincts est partiel: si E={m,n}, il n'existe pas de a tel que (m,a) D et (a,n)∈ D. Il faut aussi prévoir le cas (m,n)∈D. En effet, m est inférieur à tout élément du domaine de D sauf lui-même et il en existe, donc n convient car sinon c'est un autre élément a, auquel cas (a,n)∈ D ce qui contredit l'hypothèse que n ne convient pas.

Bon, passés les préliminaires d'explicitations de définitions on entre dans les choses sérieuses

2.6.1 est faux, puisque dans R4, B s'exprime au moyen de D qui se définit comme étant A∪ B, donc qui dépend de B. Inutile de chercher à mieux faire, il y a des contre-exemples (plusieurs possibilités pour B correspondant à un même A, dans le cas d'un ensemble E infini). On peut les trouver à partir des exemples donnés ci-dessous 2.6.3.

2.6.3 Lemme: en un certain sens il est vrai, mais en un certain sens seulement. Par exemple au sens où l'ensemble ZxZ muni de l'ordre lexicographique serait classé dans le cas 4; l'ensemble de ses éléments positifs serait classé dans le cas 2; il existe des intervalles bornés dans cet ensemble qui sont infinis mais qui sont dans le cas 1.

2.7. "Soit E={a,b,c,d,...} où a,b,c,d sont distincts" équivaut à dire que E est dénombrable.
De manière générale il faut beaucoup se méfier des pointillés en mathématiques !
Ceci ne donne pas une définition de A.

Plus précisément, en l'absence de l'axiome du choix, il peut exister un ensemble infini E sur lequel il n'existe aucun ordre total, par exemple l'ensemble quotient de R par la relation d'équivalence (x-y∈Q). Alors la construction tombe à l'eau.

3.1. Tout ensemble de type I (cas 2,3 ou 4 de 2.6.3) est aussi de type F en changeant l'ordre (voir intervalles de ZxZ).

3.2. On ne peut pas utiliser la récurrence sur des ensembles inconnus, mais seulement sur N (ou tout ensemble isomorphe à N) et sur les ensembles totalement ordonnés finis. Utiliser la récurrence c'est supposer que l'ensemble est fini ou est N (avec l'ordre ordinaire de N; par contre la récurrence est déjà fausse avec l'ensemble des éléments positifs de ZxZ bien qu'il soit dénombrable). Donc tout ce qui suit est faux.

Remarque: on peut encore trouver d'autres exemples de tels ordres. Par exemple RxZ muni de l'ordre lexicographique convient: tout élément a bien un successeur et un prédécesseur. Il n'est pas du tout isomorphe à ZxZ, bien qu'il lui ressemble assez...

Commentaire du texte C sur des idées de nombres infinitésimaux

4)a) "Supposons que la rupture...soit limitée par 2 points". Tel que c'est écrit, c'est la supposition d'une chose fausse. A moins, et c'est bien sûr l'objet de la discussion, de se placer dans un autre cadre (parler d'autres objets) que ce qui était annoncé. Et le problème est de savoir lequel. Dur, dur, de chercher à découvrir "ce qu'on voulait dire en réalité" en énonçant des trucs fantaisistes rigoureusement absurdes. Car ce n'est pas seulement l'expression d'un rejet qu'on peut "en un certain sens" trouver légitime sur la base d'un certain "sens physique", de la distinction mathématique entre intervalle ouvert et intervalle fermé qui est (déjà assez explicitement par "points les plus proches" de ce qui par définition devait être l'unique exception !) discutée ici, mais en plus, sa conjonction avec son contrepied exact (certes bien difficilement évitable sur le plan mathématique) aussitôt énoncée dans le même paragraphe "entre ces deux points il y avait une infinité de points". En effet alors, "que sont devenus" cette infinité de points dans dans cette arbitraire négation de leur existence qu'on vient de commettre ?

b) Hypothèse alternative, certes conforme aux concepts mathématiques standard mais d'où est déduit suivant une logique non élucidée un énoncé à la signification a priori non définie: le graphe "ne peut être représenté". Le sens de cet énoncé est non défini dans la mesure où en langage mathématique on parle d'objet mathématique, par exemple ici on semblait être parti d'une bijection entre le plan et l'ensemble des couples de nombres réels; le graphe de f étant une partie de R2 , est par cette bijection traduit en une partie du plan.
Comme donc rigoureusement parlant le graphe de f définit une partie du plan au sens mathématique traditionnel, à savoir une partie de l'ensemble mathématique dont les éléments sont les points du plan, on peut imaginer qu'à l'expression "être représenté dans le plan" il a voulu donner un sens différent, sans doute quelque chose de "plus physique", et notamment plus visuel. Quelque chose qui ressemble à une image fidèlement visible, et non pas seulement schématiquement visible comme se définit traditionnellement la géométrie à savoir l'art de faire des raisonnements justes sur des figures fausses, par exemple en distinguant symboliquement intervalles ouverts et intervalles fermés par la forme de leurs crochets.
Mais alors on se ramène à un autre problème: ne pas seulement parler de partie d'un ensemble mathématique, mais confronter le problème de ce qu'est la fonction qu'on veut représenter, à un tout autre problème, celui de "ce qui peut se voir".
Or, il existe bien un concept mathématique d'image visuelle, hélas peu connu à cause des difficultés mathématiques dont on l'entoure habituellement (à mon avis à tort): celui d'une fonction Lebesgue-mesurable, ou plus précisément de classe d'équivalence de fonctions mesurables qui ne diffèrent l'une de l'autre que sur une partie négligeable.
Une telle fonction, multipliée par la mesure de Lebesgue, donne une autre mesure au sens de la théorie de la mesure, à savoir la mesure de la quantité de lumière émise par toute partie du plan "colorié par cette fonction" et "éclairé uniformément" par la mesure de Lebesgue.
De cette manière, un intervalle (ou disque ou tout ce qu'on veut) fermé et un intervalle ouvert ne sont pas visuellement distinguables. Mais alors il ne faut pas se tromper de raison: ce n'est pas parce qu'un intervalle ouvert (ne contenant pas sa limite) se découvre une nouvelle borne (qui lui appartient) un peu plus loin, mais c'est parce que le même point limite peut être considéré indifféremment comme appartenant ou n'appartenant pas à l'intervalle, sans que cela ne fasse aucune différence visible. Du moins, tant qu'on n'éclaire pas l'image par une lumière qui se concentre exactement en le point qui pose problème (éclairage en mesure de Dirac).

Par cette interprétation donc, adieu la possibilité de représenter "fidèlement" une fonction discontinue par une valeur en un point différente de la limite commune à gauche et à droite: on aura beau la représenter graphiquement "sans problème" et "par la même méthode" que toute autre fonction, le résultat graphique obtenu ne permettra pas de découvrir l'existence de cette discontinuité parce que le point d'exception en b est "trop petit pour être visible à l'oeil nu" (puisqu'il est infiniment petit): on ne le verra pas et le graphique fera apparaître la fonction comme continue.
(Note: certes cette interprétation ne s'appliquerait pas telle quelle ici dans la mesure où le graphe de la fonction étant d'épaisseur nulle serait déjà invisible; mais on peut tout de même l'appliquer en coloriant d'une couleur le dessous de la fonction).

Dans la suite, il donne à demi-mots des notions d'Analyse Non Standard sans la nommer, qu'il mêle d'incohérences de son cru. Puis il critique l'Analyse Non Standard, pour un motif absurde: "ne se justifie que si ZFC n'est pas contradictoire". Aucun problème puisque ZFC n'est pas contradictoire. Et même s'il l'était, ça ne changerait rien au statut de l'Analyse Non Standard, à savoir qu'elle n'apporte aucune contradiction par rapport aux mathématiques standard. Et quand bien même les mathématiques standard seraient contradictoires, ce n'est sûrement pas en ajoutant des axiomes aussi trivialement auto-contradictoires que ceux proposés dans ce texte, que ces contradictions auront des chances d'être résolues.

Je reconnais qu'il y a un certain malaise dans la présentation usuelle de l'Analyse Non Standard, à savoir sous forme d'un système d'axiomes contre-intuitif et surtout accompagné de nouvelles règles de formalisation contre-intuitives. Je pense qu'il s'agit d'une option malheureuse choisie par les auteurs à ce sujet, qui ont cru bon (à tort à mon avis) de se concentrer sur la présentation d'un système prêt à l'emploi à utiliser "bêtement" et formellement suivant la même tendance que tant d'autres recettes de calcul adorées des étudiants qui veulent pouvoir réussir leurs examens sans avoir compris leur cours, d'une manière coupée de sa justification logique qu'on essaie de cacher sous le tapis.

Au contraire, je pense que c'est du côté de sa justification logique qu'il y a les idées les plus enrichissantes permettant enfin de commencer à former une intuition de ces notions mathématiques d'infiniment petit ou grand, certes de toute manière pas simples du tout. A savoir, la connaissance du théorème de complétude en théorie des modèles et son application aux modèles de la théorie des ensembles, que ce soit la théorie ZF ou n'importe quelle autre. Et en particulier le fait que toute théorie axiomatique consistante comportant la notion de l'ensemble des nombres entiers, admet des modèles non standard, c'est-à-dire peut admettre des univers dans lesquelles ce qui est utilisé comme ensemble des nombres entiers est en fait, vu de l'extérieur, un ensemble plus grand que N, c'est-à-dire un ensemble comportant au-delà des entiers "standard" (normaux) d'autres entiers "non standard" c'est-à-dire plus grand que tous les entiers standard.

Un chose essentielle à comprendre là, c'est la duplicité des points de vue: la notion de nombre infiniment grand n'existe pas comme notion première, mais n'est qu'un "épiphénomène intersubjectif", de comparaison entre deux points de vue. A savoir, entre le point de vue de celui qui voit un certain élément n de ce qui joue le rôle pour lui d'ensemble des nombres entiers, et dont il n'a aucun moyen de distinguer d'avec les entiers normaux (en effet quand un nombre est trop grand il est normal de pas "avoir le temps" d'en évaluer la grandeur pour vérifier par un procédé limité s'il est ou non réellement fini), et donc pour qui il n'existe qu'une sorte d'entiers conformément aux conceptions classiques, et n en fait partie; et le point de vue de celui qui voit cet élément n comme n'étant pas du tout un nombre entier mais un élément d'un gros système algébrique étrange comprenant certains éléments  qui sont les images des nombres entiers mais aussi d'autres éléments; pour lui il existe aussi une seule sorte d'entiers conformément aux conceptions classiques, mais dont cette fois n ne fait pas partie.

"le rang n d'une décimale peut être aussi grand qu'on voudra, il existe des décimales situées au-delà...".
Bien sûr, par exemple celle située au rang n+1.
"...que l'on dira à l'infini"
Ah bon ? Ya comme qui dirait un ordre des quantificateurs à corriger.
Certes, c'est en substance sur la base de ce genre de jeu mais réécrit beaucoup plus proprement, que l'existence de modèles non standard d'une théorie des ensembles peut se démontrer.

"comme on ne peut donner le rang d'une décimale à l'infini on le dira inaccessible"

Par définition, toute décimale à un rang, que ce rang soit un entier standard ou bien un entier non-standard. Un rang peut être standard mais trop grand pour pouvoir être donné concrètement. C'est ainsi que comme il se doit il est impossible de définir intrinsèquement une quelconque différence rigoureuse entre entiers standard et entiers non-standard.

3. ... "il s'agit d'une définition en soi"
Ben non, justement c'est le contraire: on peut toujours par exemple appeler "très petit" ce qui est inférieur à 10-5, "très très petit"ce qui est inférieur à 10-50, "extrêmement petit" ce qui est inférieur à 10 puissance -10100.
Par contre, "infiniment petit" ne se définit pas. Parce que justement, si on pouvait trouver une différence formelle absolue entre les nombres finiment petits et les nombres infiniment petits, ça ferait exclure les derniers du titre de nombre appartenant à l'ensemble jouant le rôle d'ensemble des réels dans le modèle non standard de la théorie des ensembles dont on était partis, de sorte que ces objets ne seraient pas arrivés suivant les définitions de départ.

4. Absurde: on ne peut pas en même temps définir un nombre x "accessible" comme cas particulier de nombre "amputé de ses décimales à l'infini" et parler de sa différence avec un nombre y qui a des décimales à l'infini.
Car si x n'avait pas de décimales à l'infini et donc y-x consistait en les décimales à l'infini de y, on tomberait vite dans des contadictions dès que x est un nombre irrationnel: car, soit y-x n'a pas de première décimale non nulle (absurde), soit elle en a une à un certain rang n non standard auquel cas y n'aurait pas de dernière décimale non nulle avant n (parce que x est irrationnel), ce qui est absurde aussi. A cela s'ajoute (si l'on n'était pas encore convaincu) l'impossibilité de considérer le développement décimal de 2x-y < x mais infiniment proche de x.

Non, pour éviter les contradictions tout en mêlant les réels standard et leurs différences avec les réels non standard il faut respecter la situation décrite en Analyse non standard: certes tout réel non standard y dont la partie entière est un entier standard est infiniment proche d'un unique réel standard x, mais ce dernier se définit alors (pour pouvoir donner un sens à l'expression y-x) comme l'unique prolongement "standard" de la suite des décimales de rangs standard de y aux rangs non standard; or ce prolongement ne se fait jamais par une simple suite de zéros, sauf bien sûr dans le cas où x n'a qu'un nombre fini (standard) de décimales non nulles.

C. Conclusion
Les axiomes 3.1 sont rigoureusement auto-contradictoires, à moins bien sûr de redéfinir le symbole d'égalité d'une manière qui reste à préciser. L'interprétation la moins auto-contradictoire de cette section consisterait en un appel à revenir aux bons vieux pixels finiment petits, bien loin des tentatives d'approche de l'analyse non-standard qui ont été présentées juste avant. Cette interprétation est encore plus clairement ressemblante à ce qui est évoqué par la suite.

Quand à la salade de confusions avec les phénomènes physiques liés à l'approche de la constante de Planck (comme "infiniment petit") ou de la vitesse de la lumière (comme "infiniment grand") qui ne sont même pas l'inverse l'un de l'autre, hum hum.

Rappelons enfin la dissymétrie fondamentale entre les décimales avant et après la virgule: standard ou pas standard, tout réel admet un "premier chiffre" c'est-à-dire de rang le plus élevé avant la virgule, mais pas toujours de dernier chiffre.

A moins qu'on remplace l'étude des nombres réels par celui des nombres p-adiques bien entendu (mais c'est alors après la virgules qu'il y a nécessairement un dernier chiffre; les deux algèbres ne pouvant pas être mélangées).

Remarquons aussi que la définition de "infiniment grand" à l'aide de l'écriture décimale tourne en rond: un réel est infiniment grand si et seulement si le rang de son premier chiffre est un entier infiniment grand, ou si et seulement si sa partie entière est un entier infiniment grand, c'est kif-kif (la considération de l'écriture décimale n'apporte rien; le rang du premier chiffre d'un nombre est simplement la partie entière du logarithme décimal de ce nombre).
Voir ma présentation des fondements des mathématiques, travaille de synthèse où je présente les mathématiques "élémentaires" (théorie des ensembles) retravaillées à la lumière de connaissances de plus haut niveau.
Lien externe:
Voir l'article Wikipedia sur les pseudo-mathématiques