1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Nous démarrerons les mathématiques par une théorie des ensembles mieux
adaptée (directement conforme à la pratique des mathématiques), partant
de 3 notions (sortes d'objets): éléments, ensembles et fonctions. Son
formalisme sera progressivement développé au rythme des besoins, avec
d'autres notions (interprétables comme primitives ou comme définies au
moyen des premières), symboles et axiomes (parfois optionnels).
D'autres notions et explications sur la perspective des fondements
(théorie des modèles) et ses principales subtilités (paradoxes)
complèteront l'exposé.
Constantes
Un symbole de constante est un symbole désignant un objet
précis, appelé sa valeur.
Exemples: 3, ∅, ℕ. Ceux du langage courant sont les noms propres et les
noms précédés d'un article défini («le», «la») sans complément.
Variables libres ou liées
Un symbole de variable (ou une variable)
est un symbole sans valeur fixe. Chaque interprétation possible lui
donne une valeur particulière et le voit donc comme une constante.
On peut l'imaginer comme délimitée par une boite. De l'intérieur de la
boite, la variable est utilisable comme une constante (gardant une même
valeur): elle est dite libre ou fixée . Vue du dehors,
ses valeurs possibles sont perçues globalement: elle est dite liée.
Domaines et ensembles
On appelle domaine d'une variable,
sa signification vue comme liée: c'est la «connaissance» de la totalité
de ses valeurs possibles ou autorisées appelées les élements de
ce domaine. Tout domaine d'une variable est appelé un ensemble.
(Cette «connaissance» est une entité abstraite, capable d'englober des
infinités d'objets, contrairement à l'esprit humain; les éléments sont
vus en vrac:
sans ordre ni égard à leur contexte). Une variable admet un domaine
lorsqu'elle peut être liée, qu'on dispose d'un point de vue englobant
toutes ses valeurs possibles. On dit qu'une variable parcourt
un ensemble, lorsqu'elle est
liée de domaine cet ensemble. On peut introduire autant qu'on veut de
variables parcourant tout ensemble donné, indépendantes entre elles et
des autres variables en présence.
Cantor définissait un ensemble comme «un groupement en un tout
d'objets bien distincts de notre intuition ou de notre pensée». Et
dans ses Lettres à Dedekind (1899): «Si
la totalité des éléments d'une multiplicité peut être pensée comme
«existant simultanément», de telle sorte qu'il soit possible de la
concevoir comme un «seul objet» (ou un «objet achevé»), je la nomme une
multiplicité consistante ou un «ensemble».» (Nous venons d'exprimer
cette «multiplicité» comme celle des valeurs d'une variable).
Il décrit le cas contraire comme une «multiplicité inconsistante»
où «l'admission d'une coexistence de tous ses éléments mène à une
contradiction».
Mais la non-contradiction ne peut pas suffire comme définition générale
des ensembles: elle est souvent elle-même indémontrable (par
l'incomplétude des mathématiques, voir «compléments
métamathématiques»); non-contradiction ne vaut pas vérité, et deux
coexistences séparément consistantes pourraient se contredire (paradoxe
de l'omnipotence).
Le renommage systématique d'une variable liée dans tout l'intérieur de
sa boite, en un autre symbole inutilisé dans le même contexte (la même
boite), de même domaine, ne change pas la signification du tout. En
pratique, une même lettre peut servir à désigner plusieurs variables
liées séparées (dont les boites sont séparées, jamais plus d'une n'est
libre à la fois). Ces variables peuvent prendre des valeurs différentes
chacune de son côté, puisqu'elles ne sont jamais interprétées d'un même
point de vue et sont donc incomparables. Le langage courant le fait
sans cesse, ne disposant que de fort peu de symboles de variables
(«il», «elle», ...).
Notion de fonction
On appelle fonction tout objet f se comportant comme
variable dépendant d'une autre variable appelée son argument de
domaine noté Domf: dès que cet
argument est fixé (et noté comme symbole x), f devient
une constante (notée f(x)). Ainsi f est
constitué des données suivantes:
- Un ensemble appelé domaine def et noté Domf.
- Pour chaque élément x de Domf,
un objet noté f(x), appelé image
de x par f ou valeur de f en x.
Notion d'opération
Une opération est une fonction
généralisée au cas d'une liste finie d'arguments (variables de domaines
respectifs donnés), donnant un résultat (une valeur) quand tous ses
arguments sont fixes. Le nombre n des arguments est appelé son arité
; l'opération est dite n-aire. Elle est dite unaire
si n=1 (c'est une fonction), binaire si n=2, ternaire
si n=3...
Les opérations d'arité 0 sont inutiles car remplaçables par leur
valeur; on verra comment construire celles d'arité > 1 au moyen des
fonctions.
La valeur d'une opération binaire f en ses arguments fixés
notés (de valeurs données par) x et y, se note f(x,y).
Ainsi, au lieu de symboles, les arguments sont figurés par les espaces
à gauche et à droite dans la parenthèse, à remplir par toute expression
leur donnant des valeurs voulues.