1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations

Nous démarrerons les mathématiques par une théorie des ensembles mieux adaptée (directement conforme à la pratique des mathématiques), partant de 3 notions (sortes d'objets): éléments, ensembles et fonctions. Son formalisme sera progressivement développé au rythme des besoins, avec d'autres notions (interprétables comme primitives ou comme définies au moyen des premières), symboles et axiomes (parfois optionnels). D'autres notions et explications sur la perspective des fondements (théorie des modèles) et ses principales subtilités (paradoxes) complèteront l'exposé.

Constantes
Un symbole de constante est un symbole désignant un objet précis, appelé sa valeur. Exemples: 3, ∅, ℕ. Ceux du langage courant sont les noms propres et les noms précédés d'un article défini («le», «la») sans complément.

Variables libres ou liées
Un symbole de variable (ou une variable) est un symbole sans valeur fixe. Chaque interprétation possible lui donne une valeur particulière et le voit donc comme une constante.
On peut l'imaginer comme délimitée par une boite. De l'intérieur de la boite, la variable est utilisable comme une constante (gardant une même valeur): elle est dite libre ou fixée . Vue du dehors, ses valeurs possibles sont perçues globalement: elle est dite liée.

Domaines et ensembles
On appelle domaine d'une variable, sa signification vue comme liée: c'est la «connaissance» de la totalité de ses valeurs possibles ou autorisées appelées les élements de ce domaine. Tout domaine d'une variable est appelé un ensemble. (Cette «connaissance» est une entité abstraite, capable d'englober des infinités d'objets, contrairement à l'esprit humain; les éléments sont vus en vrac: sans ordre ni égard à leur contexte). Une variable admet un domaine lorsqu'elle peut être liée, qu'on dispose d'un point de vue englobant toutes ses valeurs possibles. On dit qu'une variable parcourt un ensemble, lorsqu'elle est liée de domaine cet ensemble. On peut introduire autant qu'on veut de variables parcourant tout ensemble donné, indépendantes entre elles et des autres variables en présence.
Cantor définissait un ensemble comme «un groupement en un tout d'objets bien distincts de notre intuition ou de notre pensée». Et dans ses Lettres à Dedekind (1899): «Si la totalité des éléments d'une multiplicité peut être pensée comme «existant simultanément», de telle sorte qu'il soit possible de la concevoir comme un «seul objet» (ou un «objet achevé»), je la nomme une multiplicité consistante ou un «ensemble».» (Nous venons d'exprimer cette «multiplicité» comme celle des valeurs d'une variable).
Il décrit le cas contraire comme une «multiplicité inconsistante» où «l'admission d'une coexistence de tous ses éléments mène à une contradiction». Mais la non-contradiction ne peut pas suffire comme définition générale des ensembles: elle est souvent elle-même indémontrable (par l'incomplétude des mathématiques, voir «compléments métamathématiques»); non-contradiction ne vaut pas vérité, et deux coexistences séparément consistantes pourraient se contredire (paradoxe de l'omnipotence).
Le renommage systématique d'une variable liée dans tout l'intérieur de sa boite, en un autre symbole inutilisé dans le même contexte (la même boite), de même domaine, ne change pas la signification du tout. En pratique, une même lettre peut servir à désigner plusieurs variables liées séparées (dont les boites sont séparées, jamais plus d'une n'est libre à la fois). Ces variables peuvent prendre des valeurs différentes chacune de son côté, puisqu'elles ne sont jamais interprétées d'un même point de vue et sont donc incomparables. Le langage courant le fait sans cesse, ne disposant que de fort peu de symboles de variables («il», «elle», ...).

Notion de fonction
On appelle fonction tout objet f se comportant comme variable dépendant d'une autre variable appelée son argument de domaine noté Domf: dès que cet argument est fixé (et noté comme symbole x), f devient une constante (notée f(x)). Ainsi f est constitué des données suivantes:
- Un ensemble appelé domaine de f et noté Domf.
- Pour chaque élément x de Domf, un objet noté f(x), appelé image de x par f ou valeur de f en x.

Notion d'opération
Une opération est une fonction généralisée au cas d'une liste finie d'arguments (variables de domaines respectifs donnés), donnant un résultat (une valeur) quand tous ses arguments sont fixes. Le nombre n des arguments est appelé son arité ; l'opération est dite n-aire. Elle est dite unaire si n=1 (c'est une fonction), binaire si n=2, ternaire si n=3... Les opérations d'arité 0 sont inutiles car remplaçables par leur valeur; on verra comment construire celles d'arité > 1 au moyen des fonctions.
La valeur d'une opération binaire f en ses arguments fixés notés (de valeurs données par) x et y, se note f(x,y). Ainsi, au lieu de symboles, les arguments sont figurés par les espaces à gauche et à droite dans la parenthèse, à remplir par toute expression leur donnant des valeurs voulues.

1.1.  <—
Introduction au fondement des mathématiques

Sommaire
>     1.3.
Structure des théories