PLAN du COURS :

Objectifs : Nous allons travailler dans le système ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice). Après avoir montré rapidement la nécessite d'une axiomatisation de la théorie des ensembles nous allons, dans un premier temps, lister les axiomes de cette théorie, puis montrer qu'ils permettent de définir proprement la notion fondamentale d'ordinal. Nous pourrons alors constater l'existence d'un ordinal particulier, , qui vérifie l'axiomatique de Peano, et que nous appellerons provisoirement N. Nous profiterons de l'occasion offerte pour définir les opérations sur les ordinaux, et surtout pour construire les ensembles de nombres usuels (N, Z, Q, R, C). Un chapitre tout entier sera consacré à la construction de R et aux principales propriétés de R.

           Nous irons en fait le plus loin possible, c'est-à-dire jusqu'à la définition et aux premières propriétés des cardinaux, sans utiliser l'axiome du choix. Nous examinerons ensuite les diverses variantes de l'axiome du choix et leurs conséquences classiques avant de revenir, mieux armés, à l'étude plus particulière de l'arithmétique élémentaire sur les cardinaux transfinis.

Plan du cours :

Introduction : Un bref historique
Comment les «mauvaises séries» et la «fausse équation de la chaleur» de Fourier conduisirent Georg Cantor à se pencher sur le problème des ensembles exceptionnels
La crise des fondements
Les premières tentatives d'axiomatisation
Les problèmes actuels

Chap0 : Ensembles bien ordonnés
Ensembles ordonnés
Ensembles bien ordonnés
Axiomatique de Peano standard
Une autre axiomatique équivalente
Autres exemples d'ensembles bien ordonnés / Ensembles bien ordonnables

Chap1 : Quelques préliminaires de logique élémentaire
Symboles de base
Expressions et formules
Quelques simplifications usuelles
Variables liées, variables libres
Déduction formelle

Chap2 : Les axiomes

Chap3 : Relations, fonctions, bons ordres

Chap4 : Ordinaux
Définitions
Propriétés élémentaires des ordinaux

Chap5 : Construction des ensembles de nombres usuels
L'ordinal / Construction de N
L'addition dans N
La multiplication dans N
Construction de Z
Construction de Q
L'axiome de l'ensemble des parties
Construction de R
Construction de C

Chap6 : L'axiome du choix / Prolongements ultérieurs

Chap7 : Le corps des nombres réels
Inventaire des propriétés de Q
Suites convergentes / Suites de Cauchy
L'axiome de l'ensemble des parties
Construction de R
Caractérisation de R
Quelques propriétés de R
Parties remarquables de R

Chap8 : Compléments sur l'arithmétique des ordinaux
Le théorème de récursion
Le principe de récurrence transfinie
Addition des ordinaux
Multiplication des ordinaux
Exponentiation des ordinaux

Chap9 : Topologie sur les ordinaux / L'ordinal oméga un / Les ordinaux oméga alpha
Topologie sur les ordinaux
La hiérarchie des bons ordres sur / L'ordinal oméga un
Généralisation

Chap10 : Cardinaux
Le théorème de Cantor-Bernstein
Définition de la cardinalité
Notion de cardinal
La hiérarchie des cardinaux transfinis
Les problèmes

Chap11 : Différentes formes de l'axiome du choix / Applications diverses
L'axiome du choix lui-même
Un lemme de théorie des ensembles
Le principe de maximalité de Hausdorff
Le lemme de Zorn
Quelques applications du lemme de Zorn
Le théorème de Zermelo
Une application du théorème de Zermelo
Retour à la case départ
Complément
Un peu de philosophie

Chap12 : Influence de l'axiome du choix sur la hiérarchie des cardinaux transfinis
Un théorème de Cantor
La hiérarchie des cardinaux transfinis, deuxième épisode
Une curiosité

Chap13 : Un peu d'arithmétique élémentaire sur les cardinaux transfinis
Rappels
Opérations sur les cardinaux
Fonctions et cardinaux
Exponentiation des cardinaux
Notion de cofinalité / Cardinaux réguliers / Cardinaux inaccessibles

Annexe I : L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel with Choice (ZFC)

Annexe II : L'Hôtel de Hilbert

Annexe III : Le principe des tiroirs et des chemises

Annexe IV : Bibliographie sommaire