Les ondes

Est-il encore possible de faire un exposé de vulgarisation sur les ondes sans être bateau ?
Le sujet est tellement ressassé...
Il y a pourtant quelques aspects essentiels de la physique des ondes qui ne me semblent pas souvent bien traités ailleurs, du moins pas souvent de la manière simple et claire, sans trop de formules, que cela mériterait.

Regardez une onde qui se déplace. Par exemple, survolant un lac ou une mer depuis un phare ou un petit avion, vous prenez vos jumelles et vous voyez dans votre viseur sur la surface de l'eau, des vagues sous la forme de lignes parallèles (à cause des différences d'éclairages suivant la pente), qui se déplacent.
Pouvez-vous dire dans quelle direction, dans quel sens et à quelle vitesse les vagues se déplacent ?
Attention, c'est un piège.
En réalité, l'image qu'on peut avoir d'une onde sous forme des lignes de creux ou de crêtes qui se déplacent, ne suffit nullement à nous informer sur la direction et la vitesse de propagation des vagues.
En effet, voyant les lignes de crêtes orientées dans une direction, comment peut-on dire dans quelle direction l'onde se déplace ?
Habituellement, elles se déplacent dans la direction perpendiculaire.
Oui mais si on voit l'image en perspective et qu'on a perdu la perpendiculaire, comment peut-on la retrouver ?
Bon, oublions les problèmes de perspective, et supposons que vous regardez l'eau directement depuis la verticale, ou bien que vous savez de quel angle vous regardez et que vous savez tracer la véritable perpendiculaire telle qu'elle serait physiquement mesurée.

Affichons sur un écran un film montrant des vagues filmées d'avion, directement depuis la verticale, ou généralement d'une manière traitée pour restituer fidèlement les perpendiculaires.
Supposons que les lignes de crêtes apparaissent sur l'écran comme des lignes horizontales.

Alors on peut se dire que la direction de propagation des vagues est la direction verticale de l'écran.

Vous y croyez ? Réfléchissez-y bien...
Prenez votre souris, déplacez-en le curseur à l'écran de haut en bas suivant le mouvement des vagues, qui vous apparaissent comme lignes horizontales qui se déplacent de haut en bas. Pensez-vous que l'image de votre souris, déplacée verticalement à l'écran, suive effectivement le mouvement des vagues ?
Raté: les images ont été prises d'avion, et l'avion se déplace. Vous avez ajouté au mouvement de votre souris sur l'image la composante "horizontale" (à l'écran) du mouvement de l'avion. En fait, le mouvement que vous avez représenté par le curseur de la souris n'est pas physiquement perpendiculaire aux lignes de crètes.

Bon d'accord, ces conditions expérimentales ne vous conviennent pas. Changeons-les donc à votre guise: pour vous faire plaisir, fixons solidement la caméra sur un phare une fois pour toutes, et redressons là encore l'image pour restituer fidèlement les angles à la surface de l'eau. Etes-vous cette fois enfin satisfait ?

Voyant à l'écran les vagues, toutes droites de même direction, chacune étalée sans faiblir d'une extrémité à l'autre de l'écran, avez-vous enfin confiance de pouvoir dire dans quelle direction les vagues vont réellement ?
Je vous laisse réfléchir... réponse plus bas.

Non, encore raté. Les vagues n'ont toujours aucune raison d'aller perpendiculairement aux lignes de crète. En effet, à quoi croyez-vous que ça ait pu vous avancer de savoir que la caméra était solidement fixée par rapport au sol, si vous ignorez toujours la vitesse du sol par rapport à la mer ?
En effet, cette mer peut s'avérer être animée par un courant, donc être en mouvement par rapport au sol. Et ce courant entraînera les vagues avec lui. La vitesse réelle des vagues, doit être la somme vectorielle de la vitesse de la vague par rapport à l'eau, et de la vitesse de l'eau. Si les lignes de crêtes apparaissent horizontales à l'écran (des vagues qui approchent et vont déferler), et qu'il y a un courant orienté suivant cette même "horizontale", la vitesse réelle des vagues n'est plus dans la direction verticale de l'écran.
Je vous vois déjà essayer de protester: c'est de la triche, ce ne sont pas des conditions normales. Normalement les vagues sont étudiées dans une eau stable, sans courant.

Non mais pour qui vous prenez-vous, à vouloir interdire aux eaux de se déplacer ? En effet, si les eaux étaient interdites de se mouvoir, elles seraient immobiles et il n'y aurait pas de vague non plus.

Reprenons le problème. Supposons que vous voulez déterminer la véritable direction de la vitesse des vagues. Que vous ne pouvez pas interdire à l'eau d'être animée d'un courant, mais que vous ne pouvez pas non plus mesurer directement ce courant (on ne vous permet pas de faire flotter un objet à la surface de l'eau pour voir comment il est emporté par le courant; de toute façon il y a du vent, qui risque d'emporter votre objet flottant différemment de la vitesse du courant).

Pouvez-vous alors malgré cela définir des conditions expérimentales, qui certes diffèrent un peu des autres hypothèse implicites ci-dessus, permettant de déterminer à vue dans quelle direction les vagues se déplacent réellement ?

Non, ne partez pas en courant. Si, si, la question a bien un sens, soyez rassuré. Mais si, une solution existe, je vous assure.
En effet, il ne s'agit pas ici d'une simple énigme logique futile, mais d'un problème de physique. Géométriquement, on pourrait considérer que cette question de la direction de la vitesse des vagues n'a pas de sens, cependant il reste une signification physique à la propagation des ondes. En effet, les vagues transportent de l'énergie. Cette énergie des vagues se déplace, dans une certaine direction. Peut-on alors mesurer la direction de ce flux d'énergie par une expérience de physique ondulatoire, rien qu'en observant le film des vagues? Un critère fiable capable à la fois de résister au courant, et à l'effet de perspective déformant l'image ?

Je vous laisse réfléchir ?

On a besoin d' I**********ES !!!!!!
Vous y êtes ?

Bien entendu, ce sont des intérférences, dont on a besoin.
Considérons en effet non pas un seul front de vagues, mais deux fronts de vagues de même amplitude l'une que l'autre et de direction voisine, qui entrent en interférence.
Comme leurs directions sont voisines, elles ont quasiment les mêmes caractéristiques, à savoir qu'elles déplacent l'énergie dans quasiment la même direction, qu'elles soient présentes séparément ou bien en interférence. Il suffit alors de déterminer la direction de déplacement de l'énergie avec les interférences, pour savoir que c'est aussi dans cette direction que l'énergie des vagues se propage même sans interférences.

Avec les interférences donc, on voit en certains lieux du paysage la vague se propager normalement, à peu près de la même façon qu'une vague pure sans interférence: même direction, même vitesse apparente. Alors, on en déduit que l'énergie des vagues est également semblable (comme pour toute onde, proportionnelle au carré de l'amplitude, le coefficient de proportionnalité restant à déterminer), et se propage dans la même direction, à la même vitesse que dans le scénario sans interférence.
Mais en d'autres lieux, l'interférence a annulé les vagues. Plus rien ne se propage. Il n'y a ni énergie présente, ni propagation d'énergie. Marquons ces franges d'interférences destructives d'un gros trait de feutre: par là, l'énergie ne passe pas !

Il reste évidemment une chose à vérifier: ces franges d'interférences destructives restent-elles fixes au cours du temps ? Si les sources ayant produit ces deux vagues qui interfèrent ainsi sont fixes par rapport au sol et agitent l'eau avec la même fréquence, certainement les franges d'interférences seront fixes également.

Dans ce cas, la direction de propagation des vagues, au sens du flux d'énergie mécanique par rapport au sol, est directement donnée par la direction de ces franges: l'énergie des vagues ne pouvant pas atteindre ni franchir ces lignes de calme, elle doit forcément se propager parallèlement à elles !

D'ailleurs, s'il n'y a pas de courant, on peut aussi bien construire une digue dans la mer et voir la vague rebondir dessus: si la vague arrive sur la digue à incidence rasante (donc, avec des lignes de crètes presque perpendiculaires à la digue), on obtient précisément une interférence entre onde incidente et réfléchie, comme ce qu'on vient de décrire. La digue marque une ligne d'interférence constructive (d'amplitude maximale), et l'énergie ne traverse pas la digue !

Bon, mais ce n'est pas encore fini: après avoir trouvé le moyen de mesurer la direction de propagation du flux d'énergie, il reste à en déterminer la vitesse !

En fait, la solution est essentiellement la même: au lieu de deux vagues de même fréquence et de direction légèrement différentes, il suffit de prendre deux vagues pouvant avoir même direction (ça n'a pas d'importance), mais de fréquence légèrement différente.

On avait bien pris soin de tracer sur l'image une fois pour toutes les franges d'interférence des deux vagues de même fréquence, qui nous ont renseigné sur la direction de propagation de l'énergie. Cette direction étant connue, nous pourrons maintenant déterminer la vitesse de propagation de l'énergie dans cette direction.

Avec deux vagues de fréquence légèrement différente, donc, on a d'autres franges d'interférence, mais qui se déplacent au cours du temps, comme si c'étaient elles-mêmes des vagues. Les lignes sur lesquelles les interférences sont négatives, où les vagues disparaissent, sont également des lieux sans énergie, où l'énergie n'a pas pu rester. L'énergie a suivi le déplacement des franges d'interférence, en restant contenue dans la même bande délimitée par deux lignes de calme.
La vitesse de propagation de l'énergie des vagues s'en déduit directement: c'est la vitesse de déplacement des intersections des nouvelles franges (mobiles) avec les anciennes (fixes) ! On l'appelle la vitesse de groupe. C'est également la vitesse du déplacement de l'information transmise par l'onde: si on modifie l'amplitude d'une onde (comme déjà une interférence entre 2 ondes de fréquence différente constituait une modification de son amplitude au cours du temps), ce changement d'amplitude se propage à la vitesse de groupe.

Par ailleurs, la vitesse apparente des vagues (où l'on suit le sommet d'une vague dans sa direction de propagation), est appelée la vitesse de phase.

Mais pourquoi deux définitions de la vitesse d'une onde ? Parce que ces deux vitesses peuvent être différentes.
Le même raisonnement est valable non seulement pour les vagues sur l'eau mais pour tous les types d'ondes, ce dont on fera la liste plus loin. Suivant les types d'ondes, il y a des cas où la vitesse de groupe coïncide avec la vitesse de phase, d'autres cas où elles sont différentes. De fait, elles sont différentes dans le cas des vagues sur l'eau.
Leur éventuelle différence vient du fait que deux ondes de différente fréquence, peuvent avoir une vitesse de phase différente.

La vitesse de phase diffère de la vitesse de groupe lorsqu'elle varie suivant la fréquence.

Imaginez en effet, le long d'un axe, deux ondes de fréquence différente qui se propagent, mais se déplaçant à la même vitesse (de phase). Alors chaque lieu d'un type particulier d'interférence (un lieu où elles s'annulent, ou un lieu où elles s'ajoutent) se propage aussi tel quel à la même vitesse. Mais si leur vitesse est différente, alors une phase donnée d'une onde recontrera au cours de son mouvement les différentes phases de l'autre onde, ce qui correspond à d'autres phases de l'interférence.

La formule plus exacte est :

Vitesse de groupe = d

ω

/dk

où

ω est la fréquence temporelle (inverse de la période),

k est la fréquence spatiale (inverse de la longueur d'onde),

d désigne la différentielle, autrement dit la différence de valeur entre deux ondes légèrement différentes.

En effet, comme

ω mesure la "vitesse d'évolution" de la phase d'une onde en un point,

dω

mesure la "vitesse d'évolution" de la différence

de phase entre les deux ondes en ce point. Donc, 1/d

ω mesure l'intervalle de temps au cours duquel ce décallage fait un tour complet, autrement dit la durée séparant les passages de deux franges d'interférence successives en un même point. Par ailleurs, suivant le même raisonnement,

1/dk mesure la distance entre deux franges d'interférence à un instant donné

. La vitesse de déplacement des franges est le rapport distance/durée, donc

ω

/dk.

On remarque que la vitesse de phase est v=

ω/k. Notant V la vitesse de groupe, ces formules se traduisent de la manière suivante qui rend compte du lien entre variation de la vitesse de phase et différence avec la vitesse de groupe: V=v+(dv/d(ln k)). Concernant les vagues sur l'eau, il y a 3 cas à distinguer: - Les cas où la profondeur est beaucoup plus courte que la longueur d'onde. La vitesse de phase est alors constante (indépendante de la longueur d'onde), proportionnelle à la racine carrée de la profondeur. Plus l'eau est profonde, plus la vague avance vite ! C'est ainsi que les tsunamis, de longueur d'onde nettement plus grande que la profondeur de l'océan, se déplacent d'autant plus vite que l'océan est profond, mais ralentissent et donc concentrent leur énergie à l'approche des côtes. - Les cas où la longueur d'onde est plus courte que la profondeur de l'eau. La vitesse de phase est alors proportionnelle à la période: plus est longue la durée séparant deux vagues, plus leur déplacement est rapide. La longueur d'onde est alors proportionnelle proportionnelle au carré de la prériode. C'est pourquoi la vitesse de groupe est généralement inférieure à la vitesse de phase. Ainsi, la traînée de vagues engendrées par un bateau qui passe se présente avec à l'avant les vagues plus rapides, de plus longues période et de plus grande longueur d'onde; puis viennent les vagues plus courtes, plus lentes. Mais les vagues qui s'approchent en premier s'amortissent toutes seules car elles abandonnent leur énergie aux vagues suivantes.

Ces deux premiers cas se rassemblent en une formule unique: en corrigeant les définitions de k et

ω

comme étant 2

π fois plus grandes (

respectivement 2

π

/L et 2

π

/T), on a dans le cas des vagues de faible amplitude (faible pente),

ω 2 = gk tanh (kH).

où g est la pesanteur, H est la hauteur de l'eau, et tanh est la fonction tangeante hyperbolique. Ainsi, pour une eau peu profonde (kH proche de 0),

ω 2 = gk 2 H

donc v²= gH

Pour une eau profonde (kH>1),

ω 2 = gk.

- Enfin, il a le cas des ondes de capillarité, de la taille du centimètre ou plus courtes, où la capillarité de la surface de l'eau devient importante en comparaison de la pesanteur. Leur vitesse augmente à nouveau avec leur rétrécissement:

ω 2 est proportionnel à k 3

Ainsi des petites ondes peuvent finalement aller aussi vite que des grandes, et les accompagner.

$Ondes longitudinales ou transversales ?$

Il y a dans la nature, diverses autres ondes que les vagues. On va en donner une liste.
On va d'abord en préciser la classification.
Habituellement, les présentations vulgarisées disent qu'il y a deux types d'onde: les ondes longitudinales et les ondes transversales; mais que les vagues sur l'eau seraient une sorte de mélange des deux.
Or, du point de vue de la physique théorique, une telle affirmation est complètement hérétique. La vraie classification théorique sur cet aspect des choses, se définit de la manière suivante.
Chaque onde classique correspond, pour la physique quantique, à un boson, c'est-à-dire une particule de spin entier.
On classifie donc ces ondes par la valeur de ce spin. Les seules valeurs possibles des spins des ondes qui existent dans la nature sont 0, 1 ou 2.

En fait, cette classification n'a normalement de sens que pour les ondes qui se propagent librement dans l'espace à 3 dimensions. On a besoin de supposer que cet espace est isotrope, c'est-à-dire sans direction privilégiée. Autrement dit, ce ne doit pas être un milieu matériel dont la structure privilégie certaines directions pour les propriétés des ondes considérées.
Ce n'est manifestement pas le cas des vagues sur l'eau, qui ne se déplacent que dans le plan horizontal. Excluons ce cas pour l'instant, nous y reviendrons.

Considérons donc, dans l'espace isotrope à 3 dimensions, un appareil qui émet une onde dans une certaine direction.
Imaginonsque l'onde soit émise à la fréquence d'1 Hertz, autrement dit une oscillation par seconde. Un appareil récepteur mesurant à l'arrivée le champ de l'onde émise, trouvera une valeur positive à chaque battement de son métronome (aux secondes entières :t= 0 ou 1 ou 2 ou 3), mais une valeur négative aux temps demi-entiers (t= 0,5 ou 1,5 ou 2,5....).
La question est: lorsqu'on fait pivoter progressivement d'un demi-tour cet appareil autour de l'axe de propagation de l'onde qu'il émet, combien de fois l'onde émise change-t-elle de signe, parmi les mesures successives aux secondes entières ? Ce nombre de changements de signe définit le spin de l'onde.

Il y a les ondes de spin 0, dites "longitudinales": elles ne sont pas affectées par la rotation de l'émetteur autour de la direction de propagation de l'onde. C'est le cas des ondes sonores, qui se propagent dans tous les milieux matériels: air, liquides, solides. Elles se définissent par les fluctuations de pression, or dans les gaz et les solides la pression est indépendante de la direction. Généralement, la vitesse du son ne dépend que du milieu, et non pas de la longueur d'onde.

Il y a celles de spin 1, dites "transversales", qui changent donc une fois de signe. Intuitivement, elles expriment un mouvement perpendiculaire à la direction de propagation. Mais ce n'est qu'une intuition. Ainsi, les ondes électromagnétiques sont de spin 1: elles se définissent par un champ électromagnétique dans lequel les vecteurs de champ électrique et magnétique sont dans le plan d'onde, donc orthogonaux à la direction de propagation. Pourtant, elles peuvent se propager dans le vide, sans support matériel. De même, dans les solides il y a un autre type de son qui est transversal. Ainsi en sismologie on définit différents types d'ondes sismiques: les ondes longitudinales et les ondes transversales se propagent dans le sol à des vitesses différentes.

Enfin, il y a les ondes de spin 2, avec pour unique exemple le cas ondes gravitationnelles. Ces ondes ne sont donc ni longitudinales ni transversales, mais elles changent de signe dès qu'on les fait pivoter d'un quart de tour. Imaginez en effet deux étoiles de même masse qui tournent l'une autour de l'autre. Au bout d'un demi-tour de leur période de rotation, elles se sont échangées, revenant à la même disposition des masses. Donc l'onde gravitationnelle émise par ce système a déjà subi une période complète, autrement dit a déjà changé 2 fois de signe.
Une autre manifestation du spin 2 du champ gravitationnel s'observe sous forme de l'effet de marée: en une journée (un tour complet de la Terre sur elle-même) il y a eu 2 marées (la mer est montée et descendue 2 fois).

Revenons aux vagues. Comme elles ne se propagent que dans un plan, les définitions ci-dessus ne s'appliquent pas telles quelles. Néanmoins, on peut les adapter. La notion de spin peut se définir de manière plus abstraite, indépendante du nombre de dimensions de l'espace de propagation. Au lieu d'une rotation autour d'un axe, on peut employer une symétrie, et voir si lors de cette symétrie l'onde change de signe ou pas. On n'a plus comme spin un nombre entier, mais le caractère pair ou impair. Le spin 2 devient indistinguable du spin 0. Suivant cette définition, les vagues sont clairement des ondes longitudinales: elles sont invariantes par symétrie autour de l'axe de propagation. En effet, cette symétrie n'est qu'une symétrie dans le plan horizontal, et non plus une symétrie axiale dans l'espace: on ne peut pas échanger les rôles de la mer et du ciel !

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