Construisons un monde meilleur

Je propose qu'on travaille ensemble à construire un monde meilleur.
Bien sûr ce n'est pas simple, il y a beaucoup de détails, de nuanciations à faire et de mécanismes à ajouter, dont j'ai prévu quelques aspects (en particulier dans la constitution du système monétaire), mais beaucoup ne peuvent se révéler que par des débâts en groupe, ou même seulement par un début d'expérimentation.

N'empêche qu'une première approximation, très grossière, se résume au modèle mathématique suivant.

Schéma théorique simplifié

Soit un ensemble P, dont le cardinal peut aller de quelques centaines à quelques milliards, muni d'une relation binaire C réflexive et partiellement définie, autrement dit une application de P*P (produit cartésien) dans l'ensemble à trois éléments {vrai, faux, je ne sais pas} avec pour tout x, C(x,x)=vrai. Cette relation, donnée de l'extérieur, se trouve pauvre en information, c'est-à-dire que tout x de P possède une information limitée : pour tout x, l'ensemble { y tels que C(x,y) est défini (vrai ou faux)}, est de petit cardinal (toujours inférieur à 100 par exemple).

Considérons maintenant la théorie suivante T(C) du calcul propositionnel.
On prend P comme ensemble de variables propositionnelles, et comme axiomes les formules issues de la relation C suivant la règle:
Pour tout (x,y),
si C(x,y) = vrai  on a l'axiome (x -> y) ,
si C(x,y) = faux  on a l'axiome (x -> non y).

Remarque: la relation C n'est pas a priori symétrique. Mais elle ne sera généralement pas très éloignée de la symétrie, surtout en ce qui concerne la valeur faux (ce qui n'a à peu près aucune importance vu qu'une relation faux et sa symétrique donnent des axiomes logiquement équivalents).

Pour tout x de P, on notera T(C,x) la théorie déduite de T(C) à laquelle on a ajouté l'axiome "x est vrai".
Enfin, le problème général à traiter est celui-ci:
Trouver des parties B, H+ et H- de P possédant les propriétés suivantes (l'ensemble B peut rester inconnu, l'important est qu'il existe, mais on veut connaître H+ et H-):
1) Pour tout x dans B, T(C,x) est consistante, et entraîne les théorèmes "y est vrai" pour tout y dans H+, et  "y est faux" pour tout y dans H-.
2) B et H+ sont aussi grands que possible (des parties dont le cardinal sera un fort pourcentage de celui de P, de préférence majoritaires, et dont l'intersection est assez grande aussi).

La solution est en deux parties.
D'abord, on calcule les théories T(C,x) de la manière suivante.
Soit R(x,y) la relation transitive engendrée par la relation "C(x,y)=vrai", autrement dit R(x,y) est vraie si et seulement s'il existe une suite finie x1,...,xn avec x=x1, y=xn et pour tout i de 1 à n-1, C(xi, x(i+1))=vrai.
Alors l'ensemble des variables trouvées vraies (de véracité démontrée) dans T(C,x) est V(x)={y tels que R(x,y)} et cette théorie est consistante si et seulement si pour tous y, y' dans V(x), on a C(y,y') différent de faux.
(Ceci calcule les cas où une variable est prouvée vraie; oublions ici le calcul des cas où une variable est prouvée fausse)
Ensuite, on déclenche des processus successifs de modification de C en vue d'améliorer les résultats.
Le problème est qu'on veut avoir des ensembles B et H+ assez grands, or on a tous les risques de ne pas en trouver, ayant pour la plupart des x le problème que soit T(C,x) est inconsistante, soit elle est trop faiblement déterminée (l'ensemble V(x) est trop petit, et peu de variables de P ont leur valeur déterminée dans T(C,x)) . Un autre obstacle serait le cas où la relation C prendrait plus souvent la valeur faux que vrai. Dans ce dernier cas, on sera moins exigeants sur la taille des ensembles B et H+ qu'on cherche à obtenir. Les premiers risques peuvent se traiter par les trois types suivants de processus de modification de la relation C, mais souvent il faut lancer plusieurs processus de ces types, en série, en parallèle, voire éventuellement en ramifications, jusqu'à obtenir effectivement leur résolution.

Les deux premiers types de processus visent à résoudre les inconsistances.
Si T(C,x) est inconsistante, il doit exister deux éléments y,z de V(x) tels que C(y,z)=faux.

On pourra alors déclencher un deux types possibles de processus (ou les deux successivement, si le premier n'aboutit pas) décrits comme suit.

1) Comme z est dans V(x), il doit y avoir par construction de V(x) un a dans V(x) tel que C(a,z)=vrai; mais de plus on demande que ni C(a,y) ni C(y,a) ne soient faux.
Si z=x cela pose problème (la contradiction est laissée), sinon on recommence l'étude en remplaçant (y,z) par (a,y) ou (y,a) suivant le cas. Ce recommencement n'est pas illimité, car ayant pu choisir un a tel que

ordre de a par rapport à x = (ordre de z par rapport à x) -1

où l'ordre de a par rapport à x est le plus petit n tel qu'on peut trouver C(x,x2)...C(x(n-1),a)
le paramètre (ordre de y + ordre de z par rapport à x) décrémente ainsi d'une unité.
Le premier type de processus D(a,y,z) vise alors à modifier C au niveau du sous-ensemble {a,y}*{a,y,z}. Son effet, non connu à l'avance, peut se résoudre par de nouvelles valeurs de la restriction de C à {a,y}*{a,y,z}, avec soit {C(a,z),C(y,z)} différent de {vrai,faux}, soit C(a,y) ou C(y,a) devient faux (déchenchant un nouveau processus du premier ou deuxième type appliqué au traitement de la contradiction ainsi obtenue).

2) Le second type de processus G(j,y,z), plus symétrique en y et z, fait intervenir un j dans la valeur actuelle (provisoire ou non) de l'ensemble H+, tel que C(j,y) = C(j,z) = "je ne sais pas" avant le nouveau processus.
Il vise à rendre définie C(j,z) et éventuellement C(j,y).

3) Le troisième type de processus, noté E(x,y), visant à accroître la détermination de la théorie, est nettement plus simple: on prend deux éléments x et y tels que la valeur de y n'est pas déterminée dans la théorie T(C,x), et pour x fixé, y correspond si possible à une valeur maximale, au sens de la relation d'inclusion, de l'ensemble V(y)-V(x) . Ce processus a pour but de donner à C(x,y) (et accessoirement à C(y,x)) une valeur définie.
L'avantage est évident: si par chance le processus E(x,y) aboutit à donner à C(x,y) la valeur "vrai", V(x) prendra comme valeur finale la réunion des valeurs initiales de V(x) et V(y), ce qui est un ensemble sensiblement plus grand.

En quoi est-ce meilleur

Le grand avantage de cette théorie est qu'elle s'exprime en termes des théories du type T(x) engendrées par les axiomes issus de C, et calculées à partir de C, et non en termes de C directement.
Car l'ensemble V(x) étant un ensemble beaucoup plus grand que l'ensemble des y tels que C(x,y) = vrai, son efficacité pratique est multipliée d'autant: en effet, que cela nous plaise ou non, la connaissance des relations logiques entre les éléments de P, jusqu'à la découverte d'ensembles B et H assez grands est indispensable. Or, la théorie classique ignorait les règles de déduction et prétendait travailler uniquement avec C et ses conséquences au premier ordre de déduction, où l'on appliquait un seul syllogisme à la fois, se contentant de la relation R(x,y) définie par [il existe p, C(x,p)=C(p,y)=vrai]); Mais même pire que cela, on n'a jamais permis à la valeur de p de varier en fonction de x et de y.
[Il faut dire, ceux qui l'avaient conçue n'étaient pas mathématiciens, et ils ne disposaient pas des outils de calcul moderne]

Autrefois, on avait fixé p une fois pour toutes. On avait alors B+ ={x| C(x,p)=vrai} et B- ={x| C(x,p)=faux}, et au lieu de chercher à maximiser un certain B on espérait que B+ resterait plus grand que B- en cardinal. Puis, on définissait H+={y| C(p,y)=vrai}, H-={y| C(p,y)=faux}.
Malheureusement, B+ devint un jour plus petit que B-, et il fallut changer de système. On pensa que la solution serait de laisser varier p au cours du temps, mais seulement à intervalles réguliers de plusieurs années. On inventa alors le mécanisme suivant de modification de p: on produisit une sélection d'une partie K de P, de cardinal approchant la dizaine. Officiellement, tout élément de P était susceptible d'appartenir à K, mais en pratique c'était impossible, les mécanismes de choix de l'ensemble K étant assez obscurs.
Alors, on voulait déclencher les processus E(e,k) pour tout e dans P et tout k dans K, ainsi qu'un certain nombre de processus G(e,k,k') pour tout e dans P et un certain nombre de paires {k,k'} dans K, pour rendre définies tous les C(e,k). Déjà, une telle masse d'opérations coûte assez cher, mais ce n'est pas fini. On voulait qu'à la fin de ces processus il existe pour tout e dans P  un unique k dans K tel que C(e,k)=vrai. On définissait enfin la valeur de p comme étant l'élément k de K tel que {e | C(e,k)=vrai} a le plus grand cardinal.
Cependant, il arriva de plus en plus que pour beaucoup d'éléments e, le nombre d'éléments k de K tels que C(e,k) = vrai restait désespérément nul. Cette mauvaise nouvelle fut injustement présentée comme une mauvaise exécution des processus sus-mentionnés; en réalité, cela était dû essentiellement au mauvais choix de l'ensemble K, que malheureusement nul ne pouvait changer. En effet, dans une bonne distribution d des valeurs des vérité (application de P dans {vrai, faux}, mais qu'on ne peut pas connaître a priori), bien que V={x|d(x)=vrai} est plus grand en cardinal que F= {x|d(x)=faux}, l'ensemble K était comme par on ne sait quelle malédiction toujours inclus dans F.

Mais les problèmes ne s'arrêtent pas là.
L'élément p n'échappant pas à la règle que { y | C(p,y) est défini (vrai ou faux)} est de trop petit cardinal pour ce dont on a besoin, et par souci d'une relative indépendance du résultat par rapport au choix de p, on construisit un système complètement virtuel L d'une grande complexité, à partir de P sans en être un élément ni tout-à-fait une partie, tel que C(p,L)=vrai (c'est aussi une chose qui oblige à laisser p constante par intervalles de temps). On définit alors H-={y | C(L,y) = faux}, mais deux grands défauts demeurèrent:

En effet, C(L,y) ne pouvait appartenir qu'à {faux, je ne sais pas} pour tout y dans P; de plus, les cas où il était égal à faux restaient exceptionnels, car c'étaient à chaque fois de graves problèmes, de par ses effets (sa nature quasiment irréversible) et ses origines: ils ne venaient pas de manière naturelle mais seulement par des processus G(L,y,z) et éventuellement E(L,y), longs et coûteux, qui ne peuvent être déclenchés que dans des cas exceptionnels.
Et un tel système a notamment une limite : s'il arrivait que C(L,p)=faux, il y aurait des problèmes...

Pistes d'améliorations supplémentaires

On peut améliorer la théorie en remplaçant la logique binaire par une logique floue et multivaluée, la relation C(x,y) pouvant prendre de nombreuses valeurs autres que (vrai, faux, je ne sais pas), avec de nombreuses options possibles, dont on peut déjà en imaginer quelques-unes. Par exemple des options qualitatives : et des options quantitatives (au-delà des mouvements normaux de quantités qui ne sont pas à proprement parler attachés aux valeurs de C):
Plus serieusement, si vous voulez aider à construire un monde meilleur

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