Géométries

Sylvain POIRIER spoirier@lautre.net http://spoirier.lautre.net/

0 Introduction générale

1.0. A propos de ce document

Ceci est le début d’un ouvrage en projet sur les mathématiques et la physique fondamentales, principalement axé sur la géométrie. Ce sont essentiellement des sujets classiques, mais présentés suivant une démarche originale, sans rapport avec celle des programmes d’enseignement habituels. Il est destiné particulièrement à des étudiants et des lycéens doués, qui n’ont pas pour seul but de réussir leur scolarité et leurs diplômes mais qui désirent acquérir des connaissances approfondies sur ces sujets.

Pour l’instant, ce chapitre 1 est considéré comme le premier chapitre commun des parties indépendantes I et II (dont le plan est provisoire):

La partie I (physique) présente la théorie de la relativité restreinte d’une manière condensée; à partir de la section 3.3., elle mentionne ou utilise certaines notions mathématiques plus ou moins supposées connues, mais qu’il est prévu (à l’avenir) de construire progressivement en détail à la suite de la partie II: translations et homothéties, produit scalaire, nombres complexes, ellipses (avec petit et grand axe), paraboles, hyperboles (avec asymptotes), exponentielle, trigonométrie hyperblique, repères orthogonaux ou orthonormés, quantités physiques, limite, vitesse d’un point, radians, relation d’ordre, symétrie par rapport à une droite parallèlement à une autre, approximation au premier et au second ordre, courbure d’une courbe… La plupart de ces notions sont déjà exposées dans des documents plus anciens sur le même site, no12.ps et no3.ps.

La partie II (logique) se veut être plus élémentaire, et totalement indépendante de la partie I. L’ordre des parties s’explique par le fait que les questions de physique fondamentale susciteront probablement un intérêt plus immédiat, et que la plupart des lecteurs possède probablement déjà des notions suffisantes pour aborder cette partie I telle quelle. A l’inverse, la partie II constitue un travail de fond pour faciliter la mise en place ultérieure de théories plus vastes.

1.1. Qu’est-ce que la science mathématique ?

Pour le dire brièvement, c’est l’étude des systèmes éventuellement infinis mais constitués de purs objets élémentaires, dont l’existence est abstraite, indépendante du monde extérieur. Chaque constituant (élément, relation…) de ces systèmes a pour seule nature le fait d’être exact, du type “tout ou rien” : deux objets sont égaux ou différents, sont reliés ou ne sont pas reliés, une opération donne un résultat exactement…

Le choix de tels systèmes à étudier est lui-même également un choix mathématique, en ce sens qu’il est donné par des conditions de complexité limitée (contrairement par exemple à la biologie qui dépend des choix arbitraires secrètement accumulés par la Nature pendant des milliards d’années). La science mathématique est ainsi autonome par rapport aux contingences de notre Univers, mais peut toujours s’appliquer à chacun des innombrables lieux ou aspects particuliers de ce dernier où de telles situations de complexité limitée peuvent se rencontrer.

Bien que ces objets soient de nature indépendante de toute forme de représentation sensible (ou apparence) particulière, on ne peut les comprendre qu’en se les représentant sous une certaine forme. Il peut y avoir plusieurs formulations ou manières de se représenter une même théorie, toutes étant rigoureusement équivalentes entre elles mais leur efficacité, leur pertinence peut être très différente. Le plus souvent, les idées sont d’abord développées sous forme d’intuitions, d’imaginations plus ou moins visuelles, puis cristallisées en des formules et des phrases littéraires pour être communiquées, écrites ou travaillées sous ces autres formes. Et on ne peut se libérer d’une forme de représentation particulière qu’en développant d’autres formes de représentation et en s’exerçant à traduire les objets et les concepts d’une forme à l’autre.

1.2. Qu’est-ce que la géométrie ?

Notion de géométrie

Étymologiquement, le mot géométrie signifie “mesure de la terre”. C’est donc, à l’origine, une science reliée à la réalité concrète : celle de l’espace qui nous entoure, ou celle des plans : celui du sol lorsqu’il est plat, ou de toute surface plane (papier, tableau…), que l’on peut voir et sur laquelle on peut dessiner facilement. Le géomètre grec Euclide en a écrit le premier une formulation axiomatique dans le cas du plan, d’où le nom donné à la géométrie plane usuelle.

La géométrie euclidienne est ainsi la première théorie physique, c’est-à-dire une théorie mathématique qui modélise la réalité physique, en l’idéalisant : tandis que deux points trop proches l’un de l’autre ne peuvent pas être distingués par des mesures physiques, en mathématique il faut trancher : ils sont soit égaux, soit distincts (ainsi, entre deux points distincts se trouvent d’autres points, et ainsi de suite : dans un segment de droite de longueur finie il existe une infinité de points). Et on tranche au plus simple : cette géométrie se définit comme étant la plus simple théorie du plan ou de l’espace en accord avec l’expérience physique habituelle. C’est aussi l’unique théorie dans laquelle est vrai exactement tout énoncé simple qui semble vrai, aux incertitudes de mesure près, pour cette même expérience.

Pour un mathématicien moderne, le mot “géométrie” désigne le nom de famille que portent un grand nombre de théories mathématiques qui ont entre elles plus ou moins de liens de parenté, notamment le fait qu’il est plus ou moins possible de les visualiser, d’en dessiner des figures. D’un point de vue mathématique, elles sont toutes également “vraies”, se rapportant toutes à des réalités mathématiques (des ensembles de “points”…).

Comment peut-on visualiser d’autres géométries ?

Mais comment visualise-t-on la géométrie euclidienne, d’abord ? Elle n’est pas celle que l’on voit directement, car la géométrie du champ de vision est la géométrie sphérique.

En effet, la vue d’un point ne nous renseigne que sur la demi-droite issue de l’œil auquel ce point appartient; et cette demi-droite peut se représenter par son point d’intersection avec une sphère centrée sur l’œil. Lorsqu’on bouge l’œil et/ou la tête, la modification de ce qu’on voit correspond à une rotation de cette sphère. L’exemple le plus clair en ce sens est celui des objets astronomiques dont on ne perçoit que l’image sur la “sphère céleste” (qui tourne à cause de la rotation de la Terre sur elle-même).

Mais la géométrie euclidienne (du plan ou de l’espace) est seulement celle qu’on a le plus l’habitude de concevoir. En effet, en voyant ou en imaginant une image de dimension 2 (sur la sphère de vision), on attribue à chaque point une sensation de proximité ou d’éloignement, et on est familier avec la manière dont cette perception se transforme lorsqu’on tourne l’objet ou qu’on change de point de vue par rapport à lui. C’est cette faculté, fruit d’une construction mentale, qui constitue notre compréhension de la géométrie, et notre agilité à l’employer est tellement proche de celle d’une sensation élémentaire, que son caractère indirect en est presque anecdotique.

Or, la perception intuitive des autres géométries relève du même principe : celui qui consiste à voir une chose pour en concevoir une autre. Et pour parvenir à concevoir ainsi d’autres géométries en s’appuyant sur une vision qui (hélas) demeure la même, un bon moyen est de s’appuyer d’abord sur cette faculté habituelle de concevoir l’espace euclidien, en la particularisant, en la modifiant ou en la généralisant. (Mais ensuite, il est vrai que ce lien avec la vision peut être difficile à conserver, et que la place de la vision dans ce travail finit par être relativement moindre, le travail de conception devenant plus intense et traduit en formules).

Par exemple, on peut concevoir des espaces (euclidiens ou non) de dimension supérieure à 3. Ils ne comportent mathématiquement aucune véritable nouveauté par rapport à la droite, au plan et à l’espace usuel, même si l’absence totale d’expérience par rapport à eux donne aux novices l’impression d’une difficulté insurmontable. Pour concevoir ces espaces, on peut par exemple se dire qu’on ne voit que deux ou trois dimensions en même temps sous forme de coupe ou de projection, mais qu’il y en a d’autres en réserve, on peut les changer…

La géométrie euclidienne décrit-elle exactement l’espace physique ?

Non. Non seulement le temps s’y ajoute en relativité restreinte pour former un espace de dimension 4 qui n’est pas euclidien (l’espace-temps) plus réel (proche de la réalité physique) que notre espace de dimension 3 usuel, mais même si on se restreint à considérer son apparence d’espace de dimension 3, la théorie de la relativité générale nous enseigne qu’en réalité, cet espace, pour autant qu’on puisse encore le mesurer, n’obéit pas exactement à la géométrie euclidienne (indépendamment de toute question de matérialisation des objets ou de précision des mesures). Bien sûr, l’erreur de le supposer euclidien est extrêmement faible, plus encore que d’autres erreurs beaucoup plus compréhensibles et déjà couramment négligées : lorsqu’on cartographie une région de la Terre de longueur L (de forme à peu près carrée par exemple), en l’assimilant à une région d’un plan, l’erreur normale due à la rotondité de la Terre vaut (en distance sur le terrain)

\frac{L^{3}}{R^{2}}

où R = 6370 km est le rayon de la Terre, ce qui fait par exemple 2,4 cm pour 10 km; celle due à la relativité générale, qui demeure donc dans le plan tangent à la Terre, vaut

\frac{2L^{3}g}{Rc^{2}}

où g = 9, 8 m.s^{−2} est l’accélération de pesanteur et c = 3.10^{8} m.s^{−1} est la vitesse de la lumière. Elle est donc 720 millions de fois plus faible (précisément, pour n’importe quelle région choisie); dans le cas de la mesure de la Terre entière au lieu d’une région, l’erreur est de l’ordre de quelques centimètres. Ainsi, étant donné un choix d’“équateur” parfaitement circulaire, sa longueur est inférieure à sa distance au centre multipliée par 2π (mais la différence précise entre les deux dépend de la répartition de la masse de la Terre entre les différentes profondeurs).

Si maintenant on considère un plan vertical, une autre erreur survient, elle aussi plus forte que celle issue de la relativité générale : le solide de longueur L que l’on tourne pour comparer des longueurs horizontales et verticales se déforme sous son propre poids (il s’étire s’il est pendu, il se contracte s’il est posé), d’une amplitude de l’ordre de

\frac{L^{2}g}{c^{′2}}

où c′ est la vitesse du son dans le solide, qui est forcément inférieure à c d’après la relativité restreinte.

De l’autre côté, la physique de l’infiniment petit pose actuellement tellement de problèmes que certains physiciens théoriciens envisagent sérieusement que les concepts usuels de géométrie ne seraient plus valables à l’échelle de Planck (qui est bien plus petite que la plus petite distance pour laquelle le comportement des particules est actuellement connu).

1.3. Qu’est-ce que la physique mathématique ?

État des lieux

Il y a deux types de travaux en physique mathématique: la physique fondamentale et la physique appliquée. La deuxième consiste essentiellement à développer les conséquences de la première à l’aide d’approximations adaptées (en s’aidant parfois de l’expérience quand les approximations sont trop difficiles à réaliser sur le plan théorique).

La partie physique de cet ouvrage aura pour but de présenter des théories physiques fondamentales bien établies et largement vérifiées à ce jour, des plus simples (mathématiquement simples et proches de l’expérience courante) aux plus évoluées (mathématiquement sophistiquées et à la base de l’explication du plus grand nombre de phénomènes). Mais cet ordre de rangement n’est pas strict. Du point de vue du réalisme physique, seules les dernières devraient compter puisqu’elles sont plus fondamentales et précisément conformes à la réalité que les premières qui n’en sont que des résultats et approximations; mais il se trouve que l’ordre pédagogique des théories fondamentales (l’ordre de la compréhension dans leur apprentissage et le sens intuitif donné aux notions) est plus ou moins l’inverse de leur ordre de dépendance en tant que théories physiques. (C’est finalement logique puisque si une théorie A précédait une théorie B à la fois physiquement et pédagogiquement, on classerait B dans la physique appliquée).

D’abord il y a la mécanique classique, celle de Galilée et Newton, qui traite des forces et des mouvements; la loi de la gravitation s’y énonce simplement. A partir d’elle on peut avancer dans deux directions, qui sont les deux types de physique moderne qui s’opposent à la physique classique : d’une part la Relativité (restreinte puis générale), d’autre part, la physique quantique et la physique statistique (on dit aussi la mécanique statistique ou la thermodynamique statistique), qui sont deux théories parentes et étroitement liées entre elles. Ces théories seront introduites plus en détails dans les chapitres correspondants.

Nous ne préciserons pas les justifications théoriques et expérimentales sur lesquelles repose leur reconnaissance, car ces justifications sont actuellement innombrables et parmi elles, celles à l’origine historique de leur découverte ont désormais perdu tout caractère privilégié.

Une telle démarche pédagogique débarrassée des questions de justification expérimentale est largement satisfaisante du fait que les théories bien établies et vérifiées avec une extrême précision, englobent déjà en principe dans leur domaine d’application la quasi-totalité des expériences de physique réalisables. Cependant, beaucoup de ces expériences échappent en pratique à cette réduction à cause de l’extrême complexité de leur expression théorique ou de la résolution, parfois totalement infaisable, des problèmes mathématiques correspondants.

Ceci ne fait pas de la physique fondamentale une science morte pour autant, car non seulement les théories établies sont en principe incomplètes (la relativité générale et la physique quantique sont théoriquement incompatibles pour des raisons impossibles à vulgariser), mais la théorie quantique sous sa forme complète (théorie quantique des champs) s’avère, au niveau fondamental, d’une complexité quasi-insondable manquant d’un fondement mathématique bien clair sur lequel reposer, et le travail de reformulation à la recherche d’un meilleur fondement demeure actif.

Aspects philosophiques

Si les objets physiques ont une nature, nous ne pouvons de toute manière pas la connaître par l’expérience car toutes nos perceptions passent par l’intermédiaire de nos nerfs qui opèrent une traduction entre les phénomènes extérieurs et la conscience qu’on peut avoir d’eux. Donc, le mieux qu’on puisse faire est d’étudier le monde physique en tant que système mathématique, ce qui nous rend libres de nous le représenter sous des formes sans rapport avec celles sous lesquelles nous le percevons habituellement. (La suite de cette section ne fait que développer cette idée; si cela est déjà clair, vous pouvez donc passer directement à la section suivante.)

Au moins jusqu’à maintenant, il semble que toute prétention à dire qu’un élément de l’imagination serait plus qu’un autre ressemblant à la “vraie nature” d’un certain élément de la réalité physique est vaine, parce qu’il n’existe aucun moyen de comparer ces natures : toutes nos perceptions du monde extérieur sont indirectes, traduites par notre corps en impulsions nerveuses, que le cerveau retraite pour en distinguer les formes globales. Donc, du monde physique extérieur, seules les structures, c’est-à-dire les relations entre les choses, sont accessibles à nos sens et peuvent faire l’objet de nos discours, non une quelconque nature ontologique. Et de toute manière, comment espérer qu’un objet physique puisse avoir une quelconque identité de nature avec un phénomène mental ?

Par exemple il n’y a aucune ressemblance de nature entre le sentiment d’une couleur et les qualités des objets vus, qui sont responsables de cette couleur. Cette qualité consiste en les coefficients d’absorption des différentes fréquences d’ondes électromagnétiques des objets, donc de la composition en fréquences de la lumière que l’oeil reçoit. Puis, ce n’est qu’une faible partie de l’information sur cette composition que les cellules de l’oeil peuvent transmettre (suivant les propriétés des molécules dans la rétine qui font ce travail).

Également, nous pouvons à peine imaginer le temps conformément à la manière dont nous le vivons, qui montrerait la nature de cette expérience vivante du temps au-delà de la seule forme mathématique de la droite qui le représente mathématiquement : en aucun instant nous ne pouvons imaginer une durée en tant que telle, puisqu’un instant ne contient aucune durée; il n’y a que les durées futures qui n’existent pas encore, et les durées passées, que nous percevons dans notre souvenir. Mais déjà, un souvenir d’une durée n’est plus une durée, car il ne fait que représenter cette durée par une certaine autre sensation instantanée.

Ainsi, la prétention de décrire les choses “comme elles sont” serait vaine, ou alors, ce n’est plus de la physique mais de la métaphysique, ce qui peut éventuellement se défendre à condition de l’annoncer clairement. Eventuellement, cela peut être utile lorsqu’on travaille avec une théorie provisoire qu’on est en train de remettre en question pour tenter d’en construire une autre plus précise (par exemple, cela est pertinent pour passer des moles aux molécules, et de la thermodynamique classique à la mécanique statistique). Mais ce n’est pas le cas général.

L’objet de la Physique est donc de décrire les lois physiques, c’est-à-dire l’expression sous forme de théorie mathématique des relations constatées entre les résultats de nos observations du monde physique, puisque c’est une caractéristique générale des mathématiques que de s’intéresser aux structures, relations entre les objets, et non à leur nature. Alors, entre plusieurs présentations mathématiquement équivalentes (ou traductions) d’une théorie, faisant différents choix de formes d’imagination pour représenter tel ou tel aspect de la réalité, la meilleure est celle qui permet de saisir ses structures de la manière la plus facile ou efficace.

L’intuition quotidienne du monde physique est adaptée à la compréhension des problèmes de la vie quotidienne. Mais lorsqu’on veut passer à l’étude des structures de la réalité qui apparaissent dans d’autres contextes, il peut être judicieux de modifier ce choix. Mais de toute manière, un discours s’appuyant ainsi judicieusement sur un système inhabituel de correspondances entre objets réels et formes d’imagination employées à les représenter, est donc bien sûr pareillement vide de signification sur la vraie nature de ces aspects ou objets de la réalité physique que tout autre discours.

Faute d’avoir une théorie complète de la physique, on a des théories partielles, dont chacune concerne les propriétés des résultats des expériences d’un certain domaine expérimental de la réalité, c’est-à-dire un certain type d’expériences avec un certain degré de précision des mesures (dépendant des paramètres de l’expérience). Au cours de l’exploration de la physique mathématique, on est amené à considérer une succession de théories correspondant à différents domaines expérimentaux, si possibles de plus en plus larges et dont les conséquences théoriques sont de plus en plus précisément en accord avec l’expérience (ou donnent de plus en plus d’informations à lui confronter).

Chacune de ces théories est d’abord par nature une théorie mathématique; sa signification physique (son titre de théorie physique) consiste alors à attribuer à chaque expérience du domaine expérimental considéré une traduction dans la théorie, c’est-à-dire un certain sous-système d’objets de la théorie qui a la même forme mathématique que le dispositif expérimental utilisé.

Mais une théorie a aussi une signification intuitive, qui réside dans le choix de la forme de représentation la mieux adaptée à la compréhension de la théorie. Dans cette exploration, beaucoup de théories géométriques interviennent, non seulement pour rendre compte du comportement de la matière évoluant à l’intérieur de l’espace qui nous est familier, mais aussi pour remplacer cet espace lui-même par d’autres (ce dernier cas n’arrive pas souvent : principalement en Relativité restreinte, Relativité générale et théorie des cordes). Et, parmi nos intuitions ou capacités habituelles à percevoir le monde physique, la vision est celle qui est la plus claire mathématiquement, et la plus facile à exercer pour pouvoir, avec elle, concevoir beaucoup de ces théories géométriques.

La difficulté du naïf à remettre en question la forme de ses perceptions se présente aussi en termes du principe de réalité, suivant lequel “la réalité physique existe” que nous la percevions ou pas, au nom de quoi il voudrait continuer à penser les choses en termes d’“objets réels” ou concrets tels qu’il les perçoit habituellement. Or le problème n’est pas de savoir si la réalité comporte ou non d’autres objets que ceux de notre expérience ou perception, car de toute manière les théories physiques avec lesquelles nous travaillons en présentent. Le problème est de savoir lesquels. Le naïf imagine ces objets de la réalité sous-jacente, qu’il ne peut percevoir directement, comme ressemblant à ceux qui lui sont familiers. Il n’a pas toujours tort, d’ailleurs, dans la mesure où tel ou tel phénomène qu’il a besoin d’expliquer peut être dû à des mécanismes situés dans un domaine expérimental plus large que son expérience courante, mais pas encore assez pour que son intuition cesse d’être valide, son incapacité à observer directement ces mécanismes suivant cette même intuition étant seulement contingente et remédiable par des instruments adaptés (microscopes, téléscopes, etc.). Par contre, lorsqu’en poussant plus avant le domaine expérimental on se trouve confronté à une impossibilité plus fondamentale d’affiner les instruments de mesure pour observer le même type de mécanismes réels explicatifs, il est temps d’envisager qu’il y ait à cela une bonne raison: à savoir qu’il n’existe pas de réalité explicative ressemblant à ce que le naïf voudrait croire, parce que la réalité est d’une autre forme qui ne peut être comprise que par des moyens différents, en des termes différents.

1.4. Qu’est-ce que la logique mathématique ?

La brève définition du monde mathématique donnée au paragraphe 1.1. peut sembler claire : c’est l’étude des systèmes constitués d’objets élémentaires, ceux qui se développent à partir d’un commencement sans mystère, bref, un monde où on devrait, en principe, savoir au départ de quoi on parle. De plus, le langage de son étude est lui-même un assemblage précis d’objets élémentaires, donc un système mathématique, en relation précise avec les systèmes étudiés.

Alors, de quoi parle-t-on, et quel est ce point de départ ? Quels sont les éléments de base, et quelles sont leurs formes élémentaires d’assemblage ? Enfin, quelles sont les structures élémentaires du langage employé dans son étude, quelles en sont les règles propres et leurs relations précises avec les systèmes étudiés ? Telles sont les questions des fondements des mathématiques.

Paradoxalement, il s’agit là d’un problème très complexe. Sa complexité est (approximativement) limitée, certes, et manifestement moindre que celle des théories s’approchant des fondements ultimes de la physique, mais elle est tout de même grande. En fait, en travaillant beaucoup à remonter le courant du développement mathématique vers ses fondements, et s’interrogeant à chaque fois qu’on semble rencontrer un fondement, sur sa nature et les structures qui le constituent, on trouve finalement en guise de fondement, non une base nette et définitive mais une vaste dynamique plus ou moins bouclée sur elle-même, comportant certaines étapes assez simples et d’autres plus compliquées. Mais ce constat n’est pas un échec, car cette boucle est bien plus pertinente qu’un cercle vicieux, étant de plusieurs parts riche de développements potentiels utiles à diverses branches des mathématiques, et globalement elle joue véritablement un rôle fondateur pour les mathématiques.

Un tel phénomène n’est pas si surprenant en soi : ne sommes-nous pas habitués aux dictionnaires qui définissent le sens de chaque mot au moyen d’autres mots. La surprise réside bien sûr dans le fait qu’il s’agit de mathématiques. Elle s’excuse en partie du fait qu’on veut donner des fondements englobant des outils finis (le langage) capables de fournir un maximum d’informations sur les systèmes infinis. Mais pour l’excuser totalement, remarquons qu’il y a bien une science restreinte aux systèmes d’objets élémentaires en nombre fini (limité), mais dont les fondements sont sujets à ce même paradoxe : l’informatique. On peut en effet utiliser les ordinateurs comme simples utilisateurs, en sachant parfaitement ce qu’on fait mais sans savoir pourquoi cela fonctionne. Ou on peut en chercher les fondements : langages de programmation et connaissance du code source des logiciels (dont le système d’exploitation), lesquels ont été rédigés en utilisant déjà des logiciels, dont un logiciel de compilation dont on peut se demander en quel langage il fut écrit. On peut aussi s’intéresser au matériel et à l’architecture du processeur, dont la conception et la fabrication industrielle ont bien sûr été assistées par ordinateur. Et c’est ainsi nettement plus facile que lors de la naissance ex nihilo de cette discipline.

Alors, que sont les fondements des mathématiques, et pourquoi s’en préoccuper ? D’abord et à chaque instant, c’est ce qu’on sait ou qu’on a postulé, grâce à quoi on peut avancer. Mais ensuite, ce sera de préférence ce qu’il sera préférable de savoir, qui sera plus clair et grâce à quoi on pourra plus clairement et efficacement avancer, en étant ouvert à un maximum d’horizons. Or ce que sera le fondement ne peut se construire qu’à partir de ce qu’il est maintenant. Mais cela sera progressif et prendra beaucoup de temps.

Le monde mathématique est divisé en théories (en nombre infini…), chaque théorie étant l’étude des systèmes mathématiques ayant en commun une certaine liste donnée de types de constituants et de propriétés fondamentales, voire parfois toutes les mêmes propriétés (est-ce pour cela qu’on parle des mathématiques au pluriel…).

Chaque théorie peut être abordée et interprétée, au choix, suivant deux états d’esprit : une approche réaliste (certains préféreront l’adjectif idéaliste ou encore platonicien; le terme “réaliste” est employé ici pour suggérer qu’on se réfère à un monde mathématique qui serait réel), et une approche constructive. L’approche réaliste consiste à penser que le monde mathématique, avec son infinité d’objets, de systèmes et de vérités, préexiste à son étude laquelle n’est qu’un acte d’exploration (Platon l’appelait un ressouvenir); et l’approche constructive consiste à tout voir sous forme d’un développement mécanique à partir d’un fondement constitué d’éléments et de règles d’assemblage élémentaires définies au départ, et interprétér la réalité mathématique comme étant l’ensemble de tout ce qui peut en sortir.

L’approche réaliste est celle de l’intuition, par laquelle on tente de s’orienter en flairant l’ordre global de la réalité mathématique, tandis que l’approche formaliste, rigoureuse, est celle qui va préciser sur quels fondements se construisent les démarches effectuées. La recherche des fondements d’une théorie, son développement en arrière, se confond donc avec la démarche de formalisation de cette théorie, qui consiste à transformer l’intuition en rigueur.

Il est bien sûr impossible de tenir une démarche totalement réaliste, à cause principalement de la finitude de l’intelligence humaine seulement capable d’effectuer des raisonnements qui soient finalement traduisibles (avec plus ou moins de difficultés) en un langage fini partant d’un certain fondement. Cette possibilité de réduire le raisonnement à une structure finie est d’ailleurs une bonne manière de vérifier que l’intuition ne nous trompe pas.

De plus, la réalité mathématique résiste elle-même à la conception réaliste qu’on peut avoir d’elle. En effet, pour pouvoir invoquer l’existence d’une réalité mathématique il faudrait d’abord préciser laquelle, autrement dit en choisir une théorie; mais même ensuite, on constate que cette réalité présente un certain caractère irréductiblement dynamique capable de repousser ses limites toujours plus loin que sa totalité infinie dont on pourrait un instant supposer l’existence : c’est cela que signifie au fond le fait qu’il n’y a pas d’ensemble de tous les ensembles. Mais ce défaut se surmonte par le fait qu’il est pratiquement inutile d’aller chercher loin dans ces infinis supérieurs. On se contente donc en général de se fonder axiomatiquement sur une conception de totalité aux limites suffisamment éloignées pour que le réalisme en soit une bonne approximation applicable aux situations courantes…

Mais une approche totalement constructive n’est pas tenable non plus, à cause de cette impossibilité de trouver un point de départ totalement auto-suffisant, mais aussi à cause du caractère toujours plus ou moins arbitraire du choix de ce point de départ à l’intérieur de la réalité mathématique.

En effet, le formalisme n’est pas non plus absolument fondamental car ses bases ne peuvent être introduites au départ qu’en s’appuyant sur des motivations intuitives. Sur un problème donné, une vision intuitive peut parfois apparaître plus claire qu’un raisonnement rigoureux. En pratique, on travaille généralement avec des preuves semi-formelles, dont la structure globale est formalisée mais certains détails sont laissés à l’intuition, du moment qu’on “sent” comment une formalisation totale serait possible.

La place fondamentale de l’intuition visuelle

Dans notre exploration des fondements, de quoi partirons-nous ? Nous disposons de deux hémisphères cérébrales. L’hémisphère gauche est le centre du langage et de la logique, c’est-à-dire qu’il porte les fondements et capacités de compréhension de ce qui est véritablement élémentaire, suivant une approche constructive des mathématiques. L’hémisphère droit est quant à lui le support de l’intuition et particulièrement de la vision. Cette vision est un moyen de perception directe de certains systèmes mathématiques d’une grande complexité, court-circuitant bon nombre de raisonnements qui par la logique pure seraient certes possibles mais pénibles. A ce titre, on peut considérer l’hémisphère droit comme support effectif d’une approche réaliste des mathématiques (bien que de portée limitée).

Considérer les géométries comme purs produits de constructions logiques serait comme construire un simulateur de cerveau droit à l’intérieur du cerveau gauche. Savoir que c’est possible est certes intéressant, mais cette construction à elle seule ne peut produire une agilité de pensée aussi efficace que le travail du cerveau droit lui-même face à des problèmes complexes, la complexité explicite obscurcissant l’idée. Donc une telle substitution employée comme moyen d’étude exclusif serait fortement improductive lorsqu’on s’intéresse aux géométries, pour lesquelles la vision a naturellement son rôle à jouer.

C’est pourquoi, en vue de construire des fondements clairs et efficaces, l’expérience visuelle sera acceptée parmi les fondements utilisés dans les premiers chapitres, bien que ce ne soit pas un fondement du point de vue mathématique mais seulement du point de vue mental. On en déploiera progressivement l’usage par de nouvelles articulations logiques, tandis que des constructions purement logiques se développeront en parallèle, motivées par ces exemples. Ces deux démarches se rejoindront finalement, avec l’axiomatisation de la géométrie.

Ensuite, par quels chemins irons-nous ? Cette dynamique des mathématiques qui se développent à partir de fondements ne concerne pas seulement l’intérieur de chaque théorie mais aussi les relations entre les théories : il y a des théories plus élémentaires ou fondamentales (c’està-dire pouvant partir d’un fondement plus simple) qui peuvent servir de fondements à d’autres théories, d’une manière parfois plus pertinente que si l’on cherchait des fondements à l’intérieur d’une théorie donnée : les éléments fondant une théorie ne sont plus alors vus comme un bloc toujours indissociable mais une partie d’entre eux peuvent prendre un sens (celui d’une théorie plus simple) indépendamment des autres, ouvrant la voie au développement potentiel d’autres théories complexes ayant cette partie en commun.

Mais ce classement des théories suivant leur complexité est différent suivant qu’on accepte ou non la vision comme une donnée élémentaire qui s’ajoute aux moyens d’étude purement mathématiques. Déjà, la géométrie euclidienne est mathématiquement plus simple que la géométrie sphérique, mais visuellement plus complexe puisque la vision qui est l’élément de base de notre perception géométrique quotidienne est de forme (demi-)sphérique (même si nous ne sommes en fait pas habitués à l’accepter pour elle-même). De même, la géométrie euclidienne est mathématiquement une théorie assez complexe dont les fondements logiques ne sont pas évidents à trouver, mais elle peut être efficacement fondée sur d’autres théories logiquement plus simples.

Les constructions logiques progressives que nous ferons à partir de l’expérience visuelle dans les premiers chapitres seront donc principalement orientées vers la conception de géométries qui soient mathématiquement de plus en plus élémentaires. Laissant déjà derrière nous au départ la géométrie sphérique, et partant des connaissances courantes de géométrie euclidienne, la première théorie à répondre à cet ordre d’appel sera la géométrie affine.

1.5. Quelques mots de géométrie euclidienne

Évoquons ici les géométries euclidiennes de dimensions 1, 2 et 3. Celle de dimension 1 (de la droite) est la plus simple mathématiquement; les deux suivantes (du plan et de l’espace) sont presque de complexité équivalente, et seront traitées ici de la même manière.

Notre vision est habituée à comprendre le plan et l’espace, mais se trouve un peu large pour parler de la droite : quelle droite ? horizontale, verticale… ? On a tendance à vouloir placer cette droite quelque part. On a déjà moins tendance à vouloir disposer le plan dans l’espace, puisque les deux dimensions du plan remplissent les deux dimensions du champ de vision, ne laissant pas voir le vide qui se trouve de chaque côté. Mais quels que soient nos modes de représentations et d’éventuels rapports avec notre Univers physique, chacune de ces géométries, en tant que théorie mathématique, se limite à considérer les constructions pouvant être faites à l’intérieur de son système (la droite, le plan, l’espace) indépendamment de toute considération d’un éventuel espace extérieur dans lequel ce système pourrait être disposé. Même si une telle disposition peut être utile pour des calculs et raisonnements intermédiaires ou comme support intuitif, elle n’est pas considérée comme faisant partie des réalités premières dans cette théorie, et doit donc disparaître dans les objets d’étude et les résultats finaux. Cette indépendance de chaque géométrie apparaît clairement dans l’exemple déjà évoqué du champ de vision, qui a la forme (ou géométrie) d’une sphère : cette sphère a certes un centre bien défini (l’œil) mais n’a pas de rayon, il serait faux de la confondre avec une sphère particulière disposée dans l’espace. (Elle est l’ensemble des demi-droites issues de l’œil.)

Pour cette raison, il est bon de fournir à disposition de notre intuition des formes de représentations autres que visuelle pour figurer la géométrie de la droite (ou géométrie de dimension 1). En voici deux. D’abord, la sensation du temps. Ensuite, la notion de fil (infiniment fin), en tant qu’objet mécanique dont la nature est préservée quelles que soient les dispositions dans l’espace (droites, courbes, lignes brisées…) qu’on lui donne. Présentons maintenant une construction intuitive de la géométrie euclidienne.

Considérons des fils de longueur finie, arrêtés en deux extrémités (on les coupe là, ou bien on oublie les prolongements comme s’ils n’existaient pas). On appellera courbe une image d’un fil, lieu du plan ou de l’espace en lequel il peut être disposé. Chaque fil se caractérise par sa longueur : pour toute courbe, les fils pouvant être disposés dessus sont tous ceux qui ont une même longueur, qu’on appelle alors la longueur de la courbe. Tout point d’un fil le divise en deux parties, dont la somme des longueurs est égale à la longueur du fil de départ. La longueur d’une courbe se mesure également par le temps qu’on met à parcourir cette courbe du regard à vitesse fixée (ainsi sont reliées ces 3 intuitions unidimensionnelles: les fils, le temps et les courbes).

Marquer le fil d’une graduation régulière repérant les longueurs depuis une extrémité (ou plus généralement depuis un point quelconque du fil), ou de manière équivalente chronométrer le temps de parcours à vitesse constante, fournit un marquage de chaque point de la courbe par un nombre appelé son abscisse curviligne.

Entre deux points A et B, il y a une valeur minimale des longueurs de courbes qui les relient; c’est la seule longueur pour laquelle il n’existe qu’une seule courbe qui les relie. Cette courbe est notée [AB], et est appelée un segment. Sa longueur s’appelle la distance entre A et B. Inversement, la longueur d’une courbe peut se définir à partir de la notion de distance (en oubliant la mesure et la comparaison des longueurs des fils, qu’on ne peut plus déplacer) : c’est la valeur vers laquelle s’approche la somme des distances entre des points de la courbe consécutifs pour le fil, lorsque ces points sont de plus en plus nombreux et rapprochés dans le fil (envahissant toutes les parties du fil). On pourrait définir à partir des segments les demi-droites et les droites, mais passons.

La notion de disposition d’un fil dans le plan ou dans l’espace se généralise à la disposition d’un morceau de plan dans l’espace (une feuille de papier), d’un volume dans l’espace (un solide), ou d’un morceau de plan dans un plan (une feuille de papier posée sur une table).

Exprimons-nous maintenant dans le cas de la géométrie plane.

L’ensemble des points à égale distance d d’un point donné O s’appelle le cercle de centre O et de rayon d. Une droite divise le plan en deux demi-plans. L’intersection ou la réunion de deux demi-plans s’appelle un secteur angulaire S qui se mesure par son angle : O étant à l’intersection des deux droites frontières, l’intersection de S avec un cercle de centre O est une courbe, dont la longueur divisée par le rayon est la mesure en radians de l’angle (qui ne dépend pas du rayon).

(Ce qui suit serait généralisable à la géométrie dans l’espace en remplaçant feuille par solide et table par espace.)

Chaque disposition d’une feuille sur une table fait voir une figure sur la feuille comme étant une figure sur la table.

On appelle déplacement la transformation d’une figure (dessinée sur la feuille mais vue comme étant sur la table), qui résulte d’un changement de disposition de la feuille sur la table réalisé par simple glissement, sans retournement. La notion d’antidéplacement se définit de la même manière sauf que la feuille (de préférence un papier calque) est de plus retournée. (Dans le cas de l’espace, le “retournement” ne peut être que virtuel, et consiste à prendre l’image miroir). Les déplacements conservent l’orientation du plan (le sens des aiguilles d’une montre), les antidéplacements les renversent.

Tout déplacement dans le plan est soit une rotation, obtenue en tournant la feuille autour d’un point (appelé centre et unique point fixe) suivant un certain angle et dans un certain sens (défini par rapport à l’orientation du plan), soit une translation (qui avance la feuille sans la tourner, et peut être vue comme la limite d’une rotation d’angle infiniment petit autour d’un centre infiniment éloigné).

Théorème et définition. On appelle isométrie une transformation f du plan (ou l’espace) dans lui-même qui vérifie les trois conditions équivalentes suivantes :

1) f conserve les distances

2) f conserve toutes les notions de géométrie euclidienne

3) f est un déplacement ou un antidéplacement.

1.6. Fondement expérimental de la géométrie affine plane

Nous définirons la géométrie affine du plan par l’expérience suivante. On observe de loin une figure tracée sur une vitre; on ne sait pas (et on ne saura jamais) à quelle distance cette vitre se trouve, ni comment elle est disposée (de face ou de biais; on ne voit pas son contour), ni si on la voit par devant ou par derrière (ou, ce qui revient au même, à travers un miroir). Différents observateurs seront toujours supposés ignorer même comment ils sont disposés dans l’espace les uns par rapport aux autres.

On sait seulement ce qu’on en voit, et la taille apparente en est petite (elle pourrait tenir dans le disque lunaire par exemple) : on peut la prendre en photo, et faire des mesures géométriques sur la photo. Le passage de la figure réelle à la figure ainsi vue s’appelle une transformation affine.

Dans ces conditions, quels sont les notions de géométrie (propriétés ou mesures d’une figure – on appellera cela plus loin les structures) dont l’apparence de tout point de vue de ce type est toujours fidèle à la réalité, aux incertitudes de mesure près ?

On appelle géométrie affine du plan la géométrie du plan* réduite à l’étude des notions qui apparaissent fidèlement dans cette expérience. Elle diffère donc de la géométrie euclidienne à laquelle nous sommes habitués, par le fait que son langage est plus réduit : lorsque deux observateurs placés en des points de vue différents se communiquent leurs observations d’une même figure par téléphone, en ayant seulement le droit de s’exprimer dans ce langage, ils seront toujours d’accord. Et ils peuvent même introduire de nouveaux termes, tant qu’ils peuvent les définir parfaitement au moyen de ce langage, ils resteront toujours d’accord.

Toutes les notions de géométrie affine existent aussi en géométrie euclidienne. Mais certaines notions habituelles de géométrie euclidienne n’étant plus valables, on a alors besoin, pour pouvoir encore travailler, de recourir à des notions moins habituelles qui subsistent en géométrie affine, pouvant correspondre aux anciennes notions pour des observateurs particuliers.

Ne font pas partie de la géométrie affine les notions de distances, longueurs de courbe ou de segment, d’angles, d’orthogonalité, de cercles, de rotations, de produit scalaire, d’axes et de foyers de coniques, car des observateurs placés en des lieux différents peuvent ne pas être d’accord dessus.

Par exemple, si l’un croit voir un cercle, un autre ne verra pas un cercle mais seulement une ellipse. Ainsi peut-on définir la notion d’ellipse: une ellipse est une figure obtenue par transformation affine à partir d’un cercle. De même, les rotations et antidéplacement se perdent parmi d’autres transformations affines.

Les rotations et antidéplacements hérités de la géométrie euclidienne existent toujours comme transformations de E, mais ne sont plus distinguables dans l’ensemble plus large des transformations affines.

Un même objet de géométrie affine admet de multiples interprétations (ou mesures) possibles en géométrie euclidienne (chaque observateur a son interprétation définie par ce qu’il voit), et aucune mesure ou propriété qui utilise seulement le langage affine ne peut déterminer “quelle est la vraie”. N’importe laquelle peut être considérée comme vraie.

On a vu en géométrie euclidienne les dispositions de fils dans le plan E, qui sont certaines applications d’un fil dans E. Ici, il n’y a plus lieu de les distinguer à l’intérieur d’un certain ensemble plus vaste d’applications d’un fil dans E, par exemple celui des courbes paramétrées (si on garde l’intuition du temps pour imaginer le fil, la vitesse de parcours de la courbe peut alors varier d’une manière qui dépend de la transformation affine subie).

La notion de droite fait partie de la géométrie affine. Toutes les notions définissables à partir de notions de géométrie affine, font aussi partie de la géométrie affine. Par exemple, font partie de la géométrie affine les notions de droites et donc d’alignement des points, de demi-droites, segments, parallèles et parallélogrammes, rapports de longueurs de segments parallèles, rapports des aires, barycentres, translations et homothéties, paraboles, ainsi que les ellipses et hyperboles avec leurs centres.

En fait, la notion de droite est suffisante pour définir toutes les autres notions de géométrie affine, c’est-à-dire qui ne dépendent pas de l’observateur dans l’expérience ci-dessus. De l’autre côté, toute transformation qui transforme les droites en droites est une transformation affine.

* Voici pourquoi on se permettra de parler de plan (infini) malgré que la figure soit supposée tenir dans le disque lunaire : il suffit de partir de figures beaucoup plus petites que le disque lunaire (on a donc besoin d’un téléscope pour l’observer), à partir de quoi le disque lunaire semblera presque infiniment grand comme un plan: on peut y continuer la figure librement… 1.7. Rapide historique des mathématiques

La recherche en mathématiques a connu une progression accélérée dans l’histoire. Depuis l’étude de la géométrie par les Grecs, des progrès importants n’ont été réalisés qu’au cours de ces derniers siècles avec par exemple l’étude de la mécanique céleste (Newton…) puis de l’électromagnétisme, accompagnés d’outils d’analyse mathématique, et aussi de l’algèbre (résolution d’équations, nombres complexes). La théorie des ensembles n’a été étudiée qu’il y a environ un siècle par Cantor. C’est surtout au vingtième siècle que le développement des mathématiques et de la physique fondamentale a été explosif. En gros, les théories fondamentales de la science moderne au-delà des notions de base ont été découvertes dans la première moitié du siècle; puis, après une restructuration effectuée au milieu du siècle par le groupe Bourbaki (seulement en maths et non en physique), de très nombreux développements ont été réalisés dans la seconde moitié.

Nous savons que le monde des mathématiques est infini et que la recherche ne s’arrêtera pas. Les voies de recherche possibles sont très nombreuses, leur multiplication étant désormais principalement limitée par le nombre de mathématiciens, alors qu’ils sont toujours plus nombreux et que l’outil informatique facilite la rédaction et la diffusion des travaux de recherche. La recherche nécessite de se spécialiser dans un domaine, puisque l’acquisition par une seule personne de toutes les connaissances actuellement disponibles en mathématiques par exemple nécessiterait quelques milliers d’années d’études (!).

Cependant, en France, l’enseignement des mathématiques dans le secondaire (collège, lycée) et jusqu’aux premières années d’université reflète très mal cette richesse et ce foisonnement : il est constitué d’un tronc commun qui n’a pratiquement plus évolué depuis la “réforme des mathématiques modernes” (dont la mise en place brutale, excessive et mal préparée vers 1968 a constitué une véritable catastrophe pour un grand nombre d’élèves de cette époque, suivie en quelques années d’un retour à l’équilibre), si ce n’est dans le sens de l’appauvrissement des contenus. La diversité et les derniers développements de la recherche en mathématiques ne s’expriment pratiquement plus qu’à partir du niveau du DEA (diplôme d’études approfondies, bac+5).

Un grand nombre de mathématiciens restent en dehors de toute application aux autres sciences; certains même ont horreur de toute idée d’application, fiers de faire des mathématiques “pures”; mais la plupart des domaines de recherche en mathématiques sont de près ou de loin susceptibles d’applications, le plus souvent en Physique.