Les modèles cosmologiques(janvier 94) I Géométrie courbe : définition L'espace de l'univers est-il fini ou infini ? Qu'il soit fini ne signifie pas qu'il ait un bord : nous connaissons une surface finie et sans bord, qui est la sphère. Si on considère par exemple la surface de la terre, on peut toujours avancer sur cette surface sans en voir le bout, et pourtant, c'est une surface finie. Nous allons étudier sa géométrie. 1) Courbure d'une ligne Tragons une ligne sur une sphère. Imaginons que nous sommes sur la surface d'une planète, et que la ligne, vue de plus près est une route, et imaginons une voiture suivant cette route. Si la route est droite, le volant de la voiture sera droit. On dira que la ligne est une droite de la surface. Si la route décrit une ligne courbe, le volant de la voiture sera en position tournée. On mesure la courbure de la ligne par la position du volant de la voiture. Par exemple, l'équateur et les méridiens sont des droites de la sphère, mais les parallèles sont des lignes courbes. Pour s'en rendre compte, observons cela du ciel juste à la verticale de la voiture : celle-ci apparaît au centre du "cercle" qu'est la silhouette de la sphère. Si la ligne sur laquelle se déplace cette voiture est droite, elle apparaît alors comme un diamètre de ce "cercle". Autre façon de le voir : une droite de la sphère est dans l'espace un cercle de même centre qu'elle. 2) Courbure interne d'une surface Sur une sphère, on peut tracer des triangles dont les côtés sont des segments de droite de la surface, par exemple avec des parties de l'équateur et de deux méridiens. Ce triangle a deux angles droits. On a donc un triangle dont la somme des angles est supérieure à 180°. Nous allons étudier cette propriété de la sphère plus en profondeur en inventant un nouveau type de vehicule d'usage purement mathématique. Imaginons un véhicule dont les 4 roues peuvent changer de direction, mais gui sont toujours obligées d'être parallèles entre elles et de rouler à la même vitesse. Dans la géométrie du plan euclidien, ce véhicule sera toujours orienté dans la même direction. Faisons-lui maintenant parcourir un triangle sur une sphère. Chaque côté du triangle étant droit, les roues gardent la même direction par rapport au véhicule. On peut ainsi marquer sur le toit du véhicule la direction de ce côté. Les tracés successifs donnent finalement sur le toit cette figure (voir le schéma ci-contre) On constate qu'à l'arrivée, le véhicule a une orientation différente de celle du départ, puisque la méme ligne en pointillée est tracée dans 2 directions différentes. Il a dévié d'un angle égal à l'angle que font les 2 tracés de la ligne en pointillés : c'est la différence entre a+b+c et l'angle plat (l80°). On peut généraliser ce phénomène à n'importe quel parcourt que le véhicule pourrait suivre, qui le ramène au point de départ. Dessinons cette fois au sol la marque de la direction du véhicule : Il part de A avec l'orientation (1), parcourt le trajet A->B->C->A qui contourne la surface d'aire S1, arrive avec l'orientation (2) qui fait un angle x avec l'orientation (1). Il repart selon le trajet A->C->D->A qui contourne la surface d'aire S2, pour arriver avoc l'oriontation (3) qui fait un angle y avec l'orientation (2). On remarque que le trajet C->A->C équivaut à ne rien faire : l'orientation en C n'est pas modifiée. Donc, si le véhicule fait le trajet A->B->C->D->A qui contourne la surface d'aire (S1+S2), l'orientation passe de 1 à 3, donc dévie de l'angle (x+y). Or toute surface sur la sphère peut se découper en un grand nombre de petites surfaces presque carrées de même aire. L'angle de déviation lorsque l'on contourne toute la surface est la somme des angles de déviation de chaque carré) Conclusion : l'angle de déviation est proportionnel à l'aire de la surface contournée. On appellera courbure interne de la surface (qui est ici une sphère), et on notera k le coefficient de proportionnalité : pour tous les trajets effectués sur cette surface, l'angle de la déviation est : x = k.S (S : aire de la surface contournée). Remarque : j'ai rajouté l'adjectif "interne" pour distinguer les 2 notions auxquelles on donne habituellement le même nom de "courbure". 3) Définition du radian ; courbure d'un cercle du plan euclidien On mesure les angles en radians : c'est la longueur de l'arc AB d'un cercle de rayon 1 délimité par cet angle. La longueur d'un arc de cercle de rayon R et d'angle a est alors : -> L = R.a -> on en déduit a = (1/R). Imaginons une voiture parcourant l'arc de cercle CD : son volant est fixe, et elle tourne de l'angle a proportionnel à la longueur parcourue L. Déflnissons donc la courbure e d'un cercle comme étant ce coefficient de proportionnalité : -> a = e.L -> donc e = l/R 4) Surface plane d'un espace : courbure d'une surface dans un espace Considérons une surface (un plan ou une sphère) dans un espace -> Si les droites de la surface sont des droites de l'espace (lignes qui vont tout droit), on dira que cette surface est un plan de l'espace. -> Si ce n'est pas le cas, on ne s'occupera que des surfaces dont toutes les droites.ont, dans l'espace, partout la méme courbure, que l'on appellera courbure de la surface dans l'espace. 5) Dans un espace euclidien Reprenons la formule définissant la courbure interne : (x = k.S). Cette formule permet de traduire une aire (S) en grandeur chiffrable . Cela suppose qu'une unité de longueur est donnée : c'est le rayon de la sphére R. -> admettons que x = S/R^2 -> on en déduit k = l/R^2, donc k = e^2 : c'est la courbure interne d'une surface due à sa courbure dans l'espace. Il est normal gue changer le signe de e ne modifie pas k, car c'est simplement changer de côté le centre. 6) Courbure interne d'un espace L'espace est dit euclidien si la courbure interne de tous ses plans est nulle. Sinon, on ne s'occupera que des espaces dont tous les plans ont la méme courbure interne que l'on appellera courbure interne de l'espace. (Pour être plus rigoureux : on suppoge qu'il existe toujours un plan contenant 3 points quelconques de l'espace). 7) Courbure interne d'une surface dans un espace Les effets de la courbure interne k de l'espace et de la courbure e d'une surface qu'il contient s'ajoutent pour déterminer la courbure interne de la surface : k' = k + e^2 II Survol de la relativité restreinte Nous allons représenter ensemble l'espace et le temps sur une même figure. Si on considère une droite de l'espace le long de laquelle se déplacent des particules (qui peuvent étre par exemple des billes vues de loin), on représentera ces particules par des lignes du plan de la manière suivante : on pose une règle horizontalement qui représente la droite de l'espace et on la déplace à vitesse constante de haut en bas. La particule se trouve la où la ligne rencontre la règle. La notion d'immobilité dépend du point de vue : tant que l'on va tout droit à vitesse constante dans un véhicule, on n'a pas l'impression de se déplacer. D'ailleurs, la terre elle-méme n'est pas immobile dans le système solaire. Une particule allant à vitesse constante se représente par une droite oblique. Une droite verticale (représentant une particule immobile) n'a donc rien de particulier par rapport aux droites obliques (qui représentent des particules se déplaçant à vitesse constante). Pour comprendre cela, nous utiliserons la géométrie du plan euclidien, et ferons comme si le temps était de l'espace. On placera toujours la règle perpendiculairement à son déplacement. Par rapport à la particule (l), la particule (2) atteint une vitesse infinie, et méme plus loin remonte le temps. Cela est évidemment absurde. En relativité restreinte, les effets de l'imbrication du temps et de l'espace sont opposés à ceux suggérés par cette représentation. En particulier, les possibilités de vitesses, au lieu d'être accrues jusqu'à l'absurde comme précédemment, sont réduites : rien ne peut dépasser la vitesse de la lumière. (mais ne vous cassez pas la tête : il sera facile d'inverser l'effet quand nous en aurons besoin). III Principe cosmologique Grâce aux télescopes géants, les astronomes ont constaté qu'il y a des galaxies dans l'univers aussi loin qu'on puisse observer, et ce dans toutes les directions. A l'échelle de l'univers, il y en a à peu près autant partout. Alors, pour simplifier le modèle de l'univers, on pose le principe cosmologique, qui affirme qu'en tout lieu de l'univers (petit par rapport à l'univers mais assez grand pour contenir beaucoup de galaxies), tout se passe de la même façon: la densité moyenne de matière est la même à une époque considérée, et suit la même évolution au cours du temps. On suppose aussi qu'il se passe la même chose dans toutes les directions. Pour un observateur situé dans n'importe quelle galaxie, les autres galaxies s'éloignent tout droit. Ainsi, il n'y a pas de centre dans l'univers. IV Une expansion sans gravitation 1) Mesure du temps Construisons un premier modèle d'expansion de l'univers, où la gravitation n'intervient pas, à l'aide de la représentation de l'espace-temps expliquée au II. Dans cette représentation, les lignes représentant les galaxies sont droites, car à cause du principe cosmologique, une galaxie ne peut être attirée dans un sens plutôt que dans un autre. Le temps écoulé pour une galaxie depuis le Big Bang se mesure par la longueur de cette ligne. C'est uniquement cette mesure-là du temps que nous utiliserons. Attention, ce qui suit n'est pas exact mais sera corrigé au paragraphe IV 5 L'espace à une date t se représente par un cercle, une sphère de rayon t, ou un espace à géométrie sphérique (c'est à dire de courbure interne positive, voir I.6) situé dans l'espace temps à 4 dimensions selon que l'on s'intéresse à 1, 2, ou les 3 dimensions de l'espace. 2) Distance entre 2 galaxies On appellera distance entre 2 galaxies à une date t la longueur de la droite qui les relie sur la "sphère" qu'est l'espace à la date t (qui n'est pas une droite dans l'espace-temps à cause de la courbure de cette sphère) 3) Vitesse d'éloignement de 2 galaxies Reprenons le schéma qui donnait la définition du radian, en changeant les "noms". On obtient la relation : -> d = t.a De plus, on veut définir la vitesse d'éloignement entre 2 galaxies de sorte qu'on ait la formule habituelle concernant les vitesses : -> d = v.t On en déduit que v = a : la vitesse d'éloignement entre 2 galaxies est donc l'angle que font les 2 droites qui les représentent. 4) Vitesse d'expansion Comme dans la première partie, on retourne la formule -> v = (1/t).d -> on pose e = 1/t -> on a donc v = e.d Cela signifie qu'à une date donnée, la vitesse d'éloignement entre 2 galaxies est proportionnelle à leur distance. Le coefficient de proportionnalité e sera appelé vitesse d'expansion de l'univers à la date t. C'est aussi la courbure de l'espace pris à la date t dans l'espace-temps. 5) Courbure interne de l'espace Arrivés ici, on serait tenté d'écrire, pour les raisons qui précèdent, gue la courbure interne de l'espace pris à une date t est k = e^2 (comme au I,5). MAIS C'EST FAUX. (En effet, dans ce modèle d'expansion sans gravitation, il ne se passe rien géométriquement, seulement le fait qu'on ait choisi de mesurer le temps par la distance à un point de l'espace-temps appelé Big Bang. N'importe quel point pourrait convenir, et si l'espace était sphérique, ce serait le centre, et on retomberait sur la possibilité absurde de remonter le temps). Voici donc l'inversion d'effet annoncé au II : la vraie relation est : -> k = -e^2 La courbure interne est négative : cela signifie qu'ayant contourné une surface dans un sens, le véhicule spécial est dévié dans le sens contraire. Cette géométrie courbe est appelée géométrie hyperbolique. Le plan hyperbolique est infini. V Relativité générale l) Equation fondamentale (simplifiée) Dans le modèle d'expansion qui précède, il semble impossible d'introduire une force de gravitation sans contredire le principe cosmologique. Mais la relativité générale nous donne la solution : la gravitation universelle n'est pas une force mais la manifestation de la courbure interne de l'espace-temps. En général, la courbure interne n'est pas forcément la même en tout lieu ni dans toutes les directions de l'espace-temps. Cependant, grâce au principe cosmologique, on peut définir la courbure interne de l'espace pris à une date fixée, qui est la même en tout lieu et dans toutes les directions de cet espace. La relativité générale dit plus précisément ceci : Sous ces hypothèses particulièrement simples, la courbure interne de l'espace mesurée à l'aide d'un triangle immobile (c'est à dire qui ne s'étend pas) est proportionnelle à la densité de matière (ou masse volumique \mu) et en a le signe. En choisissant convenablement les unités de mesure, on peut écrire : -> k = \mu 2) Application à la cosmologie Pour la courbure interne de l'espace pris à une date t, les effets de la masse volumique et de l'expansion s'ajoutent, de même qu'au I,7 : -> k = \mu - e^2 . La courbure e de cet espace dans l'espace-temps est toujours égale à la vitesse d'expansion, qui définit l'augmentation des distances entre les galaxies au cours du temps. Pour le vérifier, prenons une barre rigide et taillons-la pour réduire la longueur d-un de ses côtés En rassemblant les morceaux, on obtient une barre dont la courbure est évidemment liée à la différence de longueur entre ces 2 côtés. Si on collait ces morceaux sur une sphère, cela ne changerait rien. Choisissons 3 galaxies qui ne sont pas alignées mais qui sont les sommets d'un triangle d'aire S qui varie au cours du temps. Placons-nous sur l'une d'elles : nous voyons les 2 autres s'éloigner tout droit. L'image que nous voyons de chaque autre diminue de taille sans se déplacer, donc ces images sont séparées par un angle "a" qui ne varie pas au cours du temps. Il en est de même des 2 autres angles du triangle. Donc a+b+c-pi qui est à toute date égal à k.S ne varie pas. Toute figure géométrique de l'espace définie en s'appuyant sur les galaxies conserve les mêmes propriétés au cours du temps, en dehors de la taille. On choisit un triangle dans lequel à un moment, S=d^2 où d est la longueur d'un côté du triangle. Cette égalité restera toujours vraie car elle ne dépend que des angles du triangle. De même, on peut choisir une figure enfermant un volume V = d^3 qui suit le mouvement d'expansion. Aucune matière n'y entre ou en sort, donc la masse m qu'il contient est constante. -> la densité de matière est \mu = m/V - m/d^3 D'autre part, la vitesse d'éloignement de 2 galaxies séparées par la distance d (qui mesure la variation de d au cours du temps) est toujours, par définition de la vitesse d'expansion : -> V = e.d On en déduit : -> k.S = (\mu - e^2).S or \mu = m/v = m/d3, e = v/d et S = d^2 donc -> k.S = (m/d^3 - (v/d)^2 ). d^2 = m/d - v^2 , est constante. C'est quasiment la loi de gravitation de Newton appliquée à un corps attiré par une masse m située à la distance d. Au cours de l'expansion, d augmente donc m/d diminue, donc v diminue : l'expansion est donc freinée à cause de la masse présente dans l'univers. 3) influence de la pression Que se passe-t-il s'il rèqne une pression dans l'univers, par exemple à cause des gaz dans les premières secondes suivant le Big Bang ou à cause de la lumière (aspect négligeable aujourd'hui) ? Cela ne repousse les galaxies dans aucune direction particulière à cause du principe cosmologique. Cependant, l'univers étant en expansion, la matière est telle un ressort comprimé qui se détend. Le ressort comprimé possédait de l'énergie car il pouvait envoyer un projectile, mais une fois détendu, il n'en a plus. En relativité restreinte, l'énergie est la même chose que de la masse, c'est-à-dire que le ressort comprimé qui a plus d'énergle pèse plus lourd gue le ressort détendu. Inutile de tenter l'expérience, car dans la pratique, la différence est beaucoup trop faible pour être mesurable: -> E = m.c^2 où -> E : énergie -> m : masse due à cette énergie -> c : vitesse de la lumière (très grande) Ainsi, à cause de la pression, au cours de l'expansion, m diminue, donc pour qu'on ait toujours "m/d - v2" constante, il faut que v diminue plus vite que si m était fixé. On en déduit que la pression a un effet gravitationnel qui ralentit l'expansion. Conclusion Si on suppose vrai le principe cosmologique, 3 modèles possibles de l'univers apparaissent. Dans les 3 cas, on a : -> v^2 = m/d - k.S d étant à l'origine presque nul, m/d est très grand. Donc la vitesse d'éloignement v est très grande (et la vitesse d'expansion e = v/d aussi). Mais elle diminue au cours du temps. La valeur de k.S est donnée au départ, aucun événement (pression) ne pourra la modifier. 1er cas : k > O : la courbure interne de l'espace est positive donc sa géométrie est celle de la sphère : il est fini. L'expansion est limitée car tant qu'elle a lieu, d augnente et il arrivera un moment où : -> m/d - k.S - O donc où v = o L'expansion s'arrête et fait demi-tour, jusqu'à ce qu'il se produise un Big Bang à l'envers, que l'on appelle Big Crunch (on comprend qu'une grandeur physique, v, ne peut demeurer exactement nulle ; mais la vraie raison du retour nécessiterait des équations plus complètes de la relativité générale...). 2me cas : k = O : l'espace a une géométrie euclidienne, donc il est infini. "m/d" sera toujours non nul, donc l'expansion ne s'arrêtera jamais, mais elle sera toujours freinée jusqu'à s'approcher de l'immobilité. 3me cas : k < O : l'espace a une géométrie hyperbolique, donc il est infini. Avec l'expansion, "m/d" deviendra négligeable devant k.S, et v se rapprochera d'une certaine valeur. On retrouve le modèle d'expansion sans gravitation déjà étudié.